Ecuaciones Diferenciales

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA MADRE Y MAESTRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS SANTIAGO, REPUBLICA DOMINICANA NOTAS DEL CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAT - 411 Prof. L. Henríquez UNIDAD I Definiciones básicas y ecuaciones diferenciales de primer orden Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que involucran diferenciales o derivadas. Tienen la forma general, si son ordinarias, como F(x,y, y’, y”,… y (n ) ) = 0, donde y’ = Clasificación: a) Según el orden: el orden de la ED es el orden de la derivada de mayor orden en la ecuación. b)Según el tipo: Ordinarias, como y” + 5y’ + 6y = 0, y” - x( y' ) 2  0 , z xz 2 xydx - (x 2  1)dy  0 , o ED en derivadas parciales, como   0. x y c) Según la linealidad: Lineales y no lineales: Una ED ordinaria lineal de orden n es de la formad2y dny dy , y” = , … y (n ) = dx dx 2 dx n

P( x)1 y '  P( x) 0 y  Q( x) , donde los coeficientes P y la función Q están en función de x solamente, P( x) n  0.
P( x) n y ( n ) 

P( x) n1 y ( n1)  …

Si la ED no es de esta forma se dice que es no lineal. Por ejemplo y” - x( y' ) 2  0 . La solución general de una ED de orden n es una familia de funciones con n parámetros (las constates deintegración) que al sustituirse en la e.d. reduce la misma a una identidad. A partir de las llamadas condiciones iniciales, es decir, y( x1 ), y’(x 2 ), y”(x 3 ), etc., de determinan las soluciones particulares. A veces una ED posee una solución que no se obtiene a partir de la general, y en estos casos se denomina solución singular. Si la solución se expresa en términos de la variableindependiente y constantes, se dice que la solución es explícita. Por ejemplo, y = c e x es sol. explícita de la ED y’ – y = 0. Si la solución involucra a funciones implícitas, se dice que la solución es implícita.

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Ecuaciones diferenciales de primer orden a) Ecuaciones deferenciales de variables separables Una ED que pueda expresarse como M(x)dx + N(y)dy = 0, se dice que es de variables separables. Lasolucion general se obtiene resolviendo los antidiferenciales:

 N ( y)dy   M ( x)dx
Ejemplo 1: Resolver la e.d. (xy2 + y2)dx + xy dy = 0. Factorizando los coeficientes de los diferenciales se tiene que: y2(x + 1)dx + xy dy = 0

 xydy = - y2 (x + 1)dx
ydy ( x  1)dx = 2 x y dy x 1       dx y x x dy  1    1   dx y  x  ln = -x - ln + c



 ln

+ ln

+x=c

La solucióngeneral es ln

+x=c.

Ejemplo 2: Resolver la ED cosydx - senxdy = 0. cosydx - senxdy = 0  senxdy = cosydx



dy =

dx

 secydy = csecxdx
 ln  ln
= -ln + ln + c1 = c1

Por conveniencia hagamos que c1 = ln c2, por tanto ln = ln c2 aplicando una propiedad logarítmica. Como la función ln es biyectiva, es decir, si lnA = lnB, entonces A = B, se tiene que

2

= c2 ,  (secy + tany)(cosex + cotx) =Hacemos que c = c2, entonces las solución general es (secy + tany)(cosex + cotx) = c.

c2.

b) Ecuaciones diferenciales homogéneas Una función f se dice que es homogénea de grado n si f (tx, ty )  t n f ( x, y) . Por ejemplo la función f ( x, y)  x 2  xy  y 2 es homogénea de segundo grado, pues se tiene que f (tx, ty)  t 2 x 2  (tx)(ty)  t 2 y 2 = t 2 f ( x, y) . Una ecuación diferencial deprimer orden de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es homogénea si los coeficientes M y N son homogéneos del mismo grado. Cuando una ED es homogénea podemos transformarla en una ED de variables separables mediante la sustituciones de y = xu, ó x = yu, donde dy = xdu + udx, y dx = ydu + udy. El criterio para utilizar una de las sustituciones normalmente es considerando al coeficiente menos complejoentre M y N. Ejemplo 1 : Resolver a y’ =

x2  y2 , con x  0, y  0. 2 xy
=

Solución: Tenemos que y’ =

x2  y2 , que equivale a 2 xy 2xydy = ( x 2  y 2 ) dx

x2  y2 . O bien: 2 xy

2x(ux)(udx + xdu) = (x2 + u2x2)dx (sustituyendo con y = ux, dy = udx + xdu) 2x2u(udx + xdu) = x2(1 + u2)dx (aparece un factor común) 2u(udx + xdu) = (1 + u2)dx (cancele ese factor comú) 2u2 dx + 2uxdu = (1 + u2)dx...