ECUACIONES DIFERENCIALES

Ing. Edebaldo Peza Ortíz

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales
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Objetivo:
El alumno resuelve la ecuación diferencial que representa el
sistema eléctrico y mecánico para simular su funcionamiento.
Subtemas:

1.1 Ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas y no
homogéneas.
1.2 Ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas y no
homogéneas.
1.3 Simulación de sistemaseléctricos y mecánicos.

Ing. Edebaldo Peza Ortíz

Ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas y no
homogéneas.
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Ecuaciones de variables separables
Muchas ecuaciones diferenciales de primer orden pueden
reducirse a la forma
g ( y) y˙ = f ( x)
Por medio de algunas operaciones algebraicas.

dy
dy
y˙ =
Conviene escribir g ( y)
= f (x)dx En la forma g ( y)dy= f ( x)dx
dx
dx
●

Una ecuación deeste tipo se dice que es una ecuación de
variables separables o una ecuación separable, debido a que
las variables x - y se han separado una de la otra, de tal modo
que x aparece solamente a la derecha, mientras mientras que y
está solamente a la izquierda.

∫ g ( y) dy=∫ f ( x)dx+C

Suponiendo que f y g son continuas, las integrales
deben existir. Calculando las integrales se llega a
la solucióngeneral de una ED separable.

Ing. Edebaldo Peza Ortíz
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Ejemplo

Resolver

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4x
y˙ =−
9y
2

dy
4x
=−
dx
9y
2

y
4 x
+C 1=−
+C 2
2
9 2
y2
2
=− x 2+C
2
9
2

2

y x
+ =C
4 9

4x
y dy=− dx
9
2

y
2 2
=− x +C 2−C 1
2
9

y2 2 2
+ x =C
2 9

[ ][
1
2

2

4
∫ y dy=− 9 ∫ dx
C =C 1+C 2

y 2 2
+ x =C
2 9

]

2

y
2 2
+ x =C
4 18

Ing. Edebaldo Peza Ortíz
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Ejemplo

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Encontrar las soluciones de

y˙=−2xy En el semiplano superior (y>0)
dy
∫ y =−2∫ xdx
x2
ln y=−2 +C 1
2
2
ln y=−x +C 1
ln y

2

−x +C 1

e =e
−x +C
y=e

dy
=−2xy
dx

C =3
C =2

2

b+c

1

b

a =a a
−x C
y=e e
2

C =1

1

C =0.5

C1

e =C
−x
y=C e

c

2

dy
=−2x dx
y

Ing. Edebaldo Peza Ortíz
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En muchas aplicaciones de ingeniería tiene poca importancia la
solución general de una ecuación diferencial dada, pero la que
sí interesa esla solución particular y(x) que satisface una
condición inicial dad, digamos, la condición de que en algún
punto x 0, la solución y(x) tiene un valor preescrito y 0
y (x 0 )= y 0

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Una ecuación diferencial de primer orden junto con una
condición inicial recibe el nombre de problema con valor inicial.
Parea resolver este problema, debemos encontrar la solución
particular de la ecuación quesatisfaga la condición inicial dada.

Ejemplo

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Resolver el problema de valor inicial

y (0)=1 ( x 2+1) y˙ =−( y 2+1) ( x 2+1) dy =−( y 2+1)
dx
dy
dx
dy
dx
( x 2+1)dy=−( y 2+1)dx
=−
=−
∫
∫
2
2
2
( y +1)
( x +1)
( y +1)
( x 2+1)

( x 2+1) y˙ + y 2 +1=0

arctan ( y)=−arctan (x)+C

arctan ( y)+arctan ( x)=C

arctan=tan−1

Ing. Edebaldo Peza Ortíz
−1

tan (a)+tan (b)
tan (a+b)=
1−tan (a)tan (B)

−1tan (tan ( y)+tan ( x))=tan (C )
a=tan−1 ( y)

b=tan−1 ( x)
−1

−1

y+x
tan (a+b)=
1− yx

tan (tan ( y))+tan (tan ( x))
tan (a+b)=
−1
−1
1−tan (tan ( y)) tan (tan ( x))

y+ x
=tan (C )
1− yx
1
=C 1
1

y (0)=1

y+ x
=1
1− yx

y (1+ x)+x=1

y+ x
=C 1
1− yx

tan (C )=C 1

y+ x=1− yx
y (1+ x)=1− x

y+ x+ yx=1
y=

1− x
1+ x

1+0
=C 1
1−(1)(0)
y+ yx+ x=1

Ing. Edebaldo Peza Ortíz
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Ejemplo

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Ley deenfriamiento de newton

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Se calienta una bola de cobre hasta una temperatura de 100°C. A
continuación, en el instante t=0, se sumerge en agua que se mantiene
a una temperatura de 30°C. Después de transcurridos 3 minutos, la
temperatura de la bola se reduce a 70°C. Hallar el tiempo que debe
transcurrir para que la temperatura de la bola se reduzca a 31°C.
Solución

dT
dt

Conductividad térmicadel cobre
λ ≈ 400 W/(Km)

dT
= K (T −T 0 )
dt

Consideramos que la distribución de
calor es instantánea
70°C

dT
=−K (T −30° C )
dt
dT
∫ T −30 =−K ∫ dt

dT
=−Kdt
T −30

dT
∫ T −30 =−K ∫ dt

du( x)
∫ u(x) =ln u( x)+C

d (T (t)−30) dT
=
dt
dt

Ing. Edebaldo Peza Ortíz

dT
∫ T −30 =ln (T −30)+C 1

−K ∫ dt=−Kt +C 2

ln (T −30)+C 1=−Kt+C 2

ln (T −30)+C 1=−Kt+C 2

ln (T −30)=−Kt+C 3 C 3=C 2−C 1...