Ecuaciones diferenciales

SOLUCION POR EL METODO NEWTON RAPSHON Si tenemos una ecuación diferencial de tipo: y´´´ + 7y´ - 6y = 0 se aplica el operador derivada [ D37D−6 ] y=0 se forma un polinomio asociado m 37m−6=0 los factores de 6 son: ±1,±2,±3±6 hacemos división sintética probando con 1 0 7 -6 1 1 8 _________________ 1 1 8 2 1 prob. 1

como se pasa de -6 a 2 entonces existe raíz entre 0 y 1 y la forma deencontrarla es usando el método de newton rapshon que nos dice: mn 1=mn − f mn / f ´ mn  se deriva la función f m=m37m−6 f ´  m=3m 2 7

mn 0.5000 0.8058 0.7874

f mn  -2.7300 0.1638 0.0000

f ´  m n 7.7500 8.9479 0.0000

f mn / f ´ mn  -0.3058 0.0184 0.0000

mn − f mn / f ´ mn  0.8058 0.7874 0.7874

Como se repite el resultado hemos encontrado la raíz.

Hacemosdivisión sintética con la raíz encontrada. 0 7 -6 0.7874 0.6199 6 __________________________ 1 0.7874 7.6199 0 1 prob. 0.7874

entonces el polinomio queda: m37m −6= m−0.7874m20.7874m7.6199

se despeja y completa el trinomio para poder resolver m 2 0.7874/2=−7.6199 m0.39372=−7.61990.1550 m=−0.3937± −7.4649 m=−0.3937±2.7321i

Por lo tanto la solución a la ecuacion diferencial es:

y=C1 e 0.7874xe−3937x [C 2 sen 2.7321xC 3 cos 2.7321x]

SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGENEA a n y n a n−1 y n−1....a 2 y ´ ´ a1 y ´ a 0 y= f  x  Ecuación diferncial de orden n, lineal, de coeficientes constantes, no homogenea. a = cte. ESTRATEGIA DE SOLUCION Resolver la ecuación homogenea obtener por principio de superposición yg = yh  y p Si f(x) es un polinomio,una función exponencial o senos y/o cosenos lineales son coeficientes indeterminados. TABLA DE SOLUCIONES PARTICULARES f x pn x  x 2−5x4 x4 e kx sen bx cos bx
x e
7x 2 3x 4

i= 0...........n

f(x) no es igual a 0

yh

yp
yp Qn  x Ai son desconocidos A2 x  A2 x A0 A4 x A3 x  A2 x A1 x A0 A0 e
kx 3 2 2

A1 sen bx A2 cos bx A1 sen bx A2 cos bx [ A2 x  A1 x A0 ]e
7x 2 3xe sen 5x x sen 3x xe cos x
x

e [ B! sen 5xB 2cos 5x ]  A1 A0 sen 3x B 1B2  cos x

e x [ A1x A0 sen x B1B 2 cos x ]

EJEMPLOS: a) y´´- 3y´ + 2y = sen 2x se resuelve la ecuación homogenea asociada y´´ - 3y´+ 2y = 0 E.D. Homogenea asociada

[ D 2−3D2] y=0 m2 −3m2=0 m−2m−1=0 m=2 , m=1 solución de la E.D. Homogenea: y H =C 1 e 2xC 2 e x La ecuación diferencialoriginal es igual a sen 2x por lo tanto la solución propuesta es: y p =A1 sen 2xA2 cos 2x como la propuesta no es igual a la homogenea se puede derivar, en este caso como la E.D es de segundo orden se deriva 2 veces y se tiene: y ´ p =2A 1 cos 2x−2A2 sen 2x y ´ ´ p=−4A 1 sen 2x−4A 2 cos 2x Se sustituye en la ecuación diferencial [−4A1 sen 2x−4A 2 cos 2x ]−3[2A 1 cos 2x−2A 2 sen 2x]2 [ A1 sen 2x A2cos 2x ]=sen 2x [−4A 16A 221 ] sen2x[−4A 2−6A 12A 2]cos 2x=sen2x de donde sale un sistema de ecauciones con dos incógnitas. −2A ! 6A 2=1−3 −6A 1−2A 2=0 6A 1−18A 2=−3 −6A 1−2A 2=0 __________________ 0−20A 2=−3

de donde salen nuestras dos constantes 3 20 −1 20

A2 =

A1=

por lo tanto la solución particular nos queda:
y p= −1 3 sen 2x 2x 20 20cos

por pricipio de superposicióntenemos la solución general: 1 3 sen 2x cos 2x 20 20

y H =C 1 e C 2 e −

2x

x

b) y´´+ 4y = sen2x se resuelve la homogenea y´´ + 4y = 0
[ D 4] y=0
2

m 4=0

2

m=±−4

m=±2i

la solución homogenea nos queda:
y H =C 1 sen2x C 2 cos 2x

ahora la solución particular :
y p =A1 sen 2xA2 cos 2x como esta solución es igual a la solución homogenea, se multiplica por x

y p=x [ A1 sen2x A2 cos 2x ] y p =A1 x sen 2xA2 x cos 2x como la ecuación diferencial es de segundo orden se deriva dos veces y ´ p =A1 sen 2x A2 cos 2xx [2A 1 cos 2x−2A 2 sen 2x] y ´ p= A1−2A 2 x sen 2x A22A 1 x cos2x

y ´ ´ p=−2A 2 sen2x2 A1 −2A2 x cos 2x2A 1 cos 2x−2  A22A1 x sen2x y ´ ´ p=−2 2A22A1 x sen 2x22A 1−2A 2 x cos 2x

sustituimos en la ecuación diferencial...