Ecuaciones diferenciales

1

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Muchas situaciones de la vida real pueden ser descritas a través de modelos matemáticos que involucran ecuaciones diferenciales. De hecho, muchas leyes naturales y de la física se traducen o pueden ser expresadas mediante ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, en economía la evolución del comportamiento de las …nanzas y el costo de la vida puedenser modelados mediante ecuaciones que contienen derivadas. En física, la velocidad y aceleración de un objeto se representan mediante derivadas. Otras áreas como biología con problemas de crecimiento de poblaciones de bacterias y química con rapidez de reacción de ciertos fenómenos moleculares. Son éstos algunos ejemplos en donde encontramos razones para realizar un estudio formal de la Teoría deEcuaciones DIferenciales. A seguir, mostramos algunos ejemplos mas concretos: Problema 1. Si se desea determinar la ecuación de una curva cuya pendiente en cada punto (x; y) sea igual a una función pre…jada f (x; y) ; se tendrá la siguiente relación dy = f (x; y) (1) dx Problema 2 En Biología, la ley de Malthus es conocida como la ley de las poblaciones. Ésta fue propuesta en 1798 cuando Malthusobservó que la población de Europa se duplicaba en ciertos intervalos regulares de tiempo. De éste modo, estableció que la razón en que la población crece es proporcional a la población presente. Por ejemplo, se ha obervado que para un gran tipo de colonias de bacterias éstas tienden a crecer en una razón proporcional al número de bacterias presentes. Si N = N (t) es el número de bacterias presentesen cualquier instante t , entonces N = kN donde k es una constante de proporcionalidad. Problema 3 Supongamos que un cuerpo, que tiene la temperatura T0 en el instante de tiempo t = 0; se halla colocado en un medio cuya temperatura es igual a A (T0 > A) : Se necesita encontrar la ley según la cual varía la temperatura T del cuerpo con respecto al tiempo. La temperatura T buscada es una funcióndel tiempo y la designaremos por T (t) : La ley de enfriamiento de Newton nos dice “la velocidad de enfriamiento del cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio ambiente” Teniendo en cuenta que la función T (t) es decreciente, . en virtud de la interpretación física de la derivada obtenemos dT (t) = dt K[T (t) A] (3) (2)

donde K es el coe…ciente deproporcionalidad.

1

Problema 4. Si se desea determinar la ecuación de una curva cuya pendiente en cada punto (x; y) sea igual a una función pre…jada f (x; y) ; se tendrá la siguiente relación dy = f (x; y) (4) dx Problema 5. Dos fuerzas F1 y F2 que actúan en una misma dirección y sentido sobre una masa m; determinan un movimiento tal que el producto masa por aceleración es igual a la resultantede las fuerzas, es decir, m d2 x = F1 + F2 dt2 (5)

donde x (t) es el desplazamiento de la masa m: Problema 6 Supongamos que en un tanque hay una solución, como por ejemplo sal disuelta en agua y se requiere determinar la cantidad de sal x (t) presente en el tanque en el tiempo t; dado que se introduce al tanque, con una cierta velocidad ve ; solución con una concentración ce de sal y al mismotiempo el tanque evacua solución a una velocidad vs y concentración cs : Si la concentración en el tanque se mantiene homogénea, se establece la siguiente relación dx = ve ce dt vs cs (6)

Las relaciones (1),(2),(3), (4), (5) y (6) modelan los fenómenos físicos descritos en cada caso y corresponden a Ecuaciones Diferenciales ya que involucran una función desconocida y al menos una derivada deella.

2

De…niciones Previas

Si la función buscada depende de una sola variable la ecuación diferencial se denomina Ecuación Diferencial Ordinaria en caso contrario, cuando la función buscada depende de más de una variable, la ecuación se denomina Ecuación en Derivadas Parciales. Es de nuestro interes, el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias. El orden de una ecuación diferencial es...