Ecuaciones Dofanticas

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  | 4.2 Ecuaciones diofánticas4.2.1. Definición. El término ecuación diofántica se usa para designar una ecuación en una o más incógnitas que va a ser resuelta en los enteros. La ecuación diofántica más simple es la ecuación diofántica lineal en dos incógnitas  , donde a y b son enteros dados, no ambos cero.Ej: La ecuación diofántica  tiene infinitas soluciones enteras. Algunas deestas soluciones son: Ej: La ecuación diofántica  no posee solución debido a que tanto  como  son números pares. La suma de dos números pares es un número par y 17 es un número impar.Un criterio para conocer cuando una ecuación diofántica de este tipo posee solución lo proporciona el siguiente teorema.4.2.2. Teorema. La ecuación diofántica  tiene solución sí y sólo sí d|c, donde d = M.C.D.(a,b).Si  es una solución particular de esta ecuación, entonces, todas las otras soluciones están dadas por: para t entero arbitrario.Ejemplo: La ecuación  no tiene solución porque: 2 = M.C.D.(2, 10) no divide a 17.Ejemplo: La ecuación  tiene solución porque: 1 = M.C.D.(5, 6) divide a 8.¿Cómo hallamos una solución particular?Existen dos métodos. El primero es por simple inspección, pero si así no fueraposible, podemos utilizar el algoritmo de Euclides así: Se hallan  utilizando el algoritmo anteriormente citado.6 = 1x5 + 1.5 = 5x1 + 0.Luego, 1 = 6 - 1x5.Quiere decir que  
Entonces:En la expresión  se multiplican ambos miembros por 8 y se obtiene:  .Luego, la solución particular de la ecuación diofántica es de la forma siguiente:La solución general será: o sea  |
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4.4 Ejerciciosresueltos1. Pruebe que un entero positivo  es cuadrado perfecto, sí y sólo sí en su descomposición en factores primos todos los exponentes son pares.SoluciónSea  la descomposición en factores primos de n.n es cuadrado perfecto si y sólo si existe un  tal que  , sí y sólo sí  . 
Para que todos los  es necesario que  , ésto sí y sólo sí  sí y sólo sí es par.2. Resuelva este problema:una compañía compró ciertonúmero de reliquias falsas a $17 cada una y vendió algunas de ellas a $49 cada una. Si la cantidad comprada originalmente es mayor que 50 y menor que 100 y la compañía obtuvo una ganancia de $245. ¿Cuántas reliquias faltan por vender?SoluciónSea x: número de reliquias que compró.y: número de reliquias que vendió.Se sabe que 50 < x < 100.Lo que vendió menos lo que compró debe ser igual a laganancia. Luego: . Se trata de resolver esta ecuación diofántica.M.C.D.(17, 49) = ? . Utilicemos el algoritmo de Euclides.49 = 2x17 + 1517 = 1x15+215 = 7x2+17 = 7x1+0Luego, M.C.D.(17, 49) = 1 O sea que:  . Multiplicando por 245 obtenemos: Así que una solución particular de la ecuación diofántica  es  . La solución general para  Bajo las condiciones del problema, sólo se obtiene que con  secumple que , o sea que compró 98 reliquias.Para  , se tiene que  da como resultado  , que fueron las reliquias que vendió. Luego, faltan por vender 59 reliquias.3. Demuestre: que un número de 4 cifras es múltiplo de 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.SoluciónSea  , donde a, b, c, d son dígitos.Sea  (escrito en base 10).Sea n la suma de sus dígitos, es decir,  y tal que9n.Luego,  .Entonces,  ; es decir,  es múltiplo de 9, o sea .Como por hipótesis 9 | n y se tiene que 9 | (N - n), entonces, 9 | N.4. Halle dos números, uno con 21 divisores y el otro con 10 divisores cuyo máximo común divisor sea 18.Solucion.SeaSe debe cumplir que:Entonces, A debe ser de la forma, A = X12 X26También B, debe ser de la forma B = Y1 Y24Pero, d = 18 = 2 x 32De lo anterior, se deduce que A =32 x 26B = 2 x34Luego, A = 576B = 1625. Un número N descompuesto en sus factores primos es de la forma N = 2x 3y 5zSi se divide por 2, se suprimen 24 divisores.Si se divide por 3, se suprimen 18 divisores.Si se divide por 5, se suprimen 12 divisores.Halle N.Solucion:N = 2x 3y 5z tiene (X+1) (Y+1) (Z+1) divisoresN/2 tiene X (Y+1) (Z+1) divisoresN/3 tiene (X+1) Y (Z+1) divisoresN/5 tiene(X+1) (Y+1) Z...