ecuaciones homogeneas

 
Homogéneas y Reducibles a Homogéneas
b) Determinar para que valores de "r" tiene soluciones de la forma y=erx, la ecuación y"’ - 3y" + 2y’ = 0
Solución
a) Hacemos el cambio: y = ux y’ = u + xu’
Reemplazando en la ecuación: u + xu’ = u2 + u -1
xu’ = u2 – 1
1n 1nx + c2 cx2

Pero en (1):
b) Para que y = erx sea la solución es necesario y suficiente que ella y sus derivadassatisfagan la ecuación diferencial dada.
Así:
Reemplazando:

Luego los valores de r son: 0, 1 y 2
a)Resolver: y’ = y2/x2 + y/x – 1
a)
b)
Solución
a)

b) Tenemos: (Homogénea)
Hacemos
En (1):

(2)
Pero
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
(8x + y + 25)dx + (7x – 16y + 140)dy = 0 (1)
Solución
(1) puede escribirse como: ecuación reducible ahomogénea). Vemos que: 8(-16) ¹ 1(7)
Encontramos la solución del sistema: 8x + y + 25 = 0
7x – 16y + 140 = 0
que es x = -4, y = 7
Hacemos el cambio de variables: u = x + 4 à du = dx
v = y – 7 à dv = dy
En la ecuación, reemplazamos:
(2)
La cual es homogénea. Hacemos cambio:

En (2):


Por fracciones parciales:
Integrando:

(3)
Pero En (3):

Resolver la ecuacióndiferencial:
Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales:
ax2 + 2bxy + cy2 + y’ (bx2 + 2cxy + fy2) = 0
2x + 2y – 1 + y’ (x+y-2)=0
Solución:
a) tenemos que:
Sea
En (1):





(2)
Pero en (2):
b) Vemos que: (1)
Como 2(a) = 1(2), entonces hacemos el cambio
En (1):

Pero u = x + y, en (2): x+y-3 1n(x+y+1) =
Solución:
Tenemos que: x(2x2 + 3y2 – 7)dx– y(3x2 + 2y2 – 8)dy = 0 (1)
Hacemos el cambio:

En (1): (2z + 3u -7). dz – (3z + 2u – 8). du = 0
(2)
Como 2(2) ¹ 3(3), entonces hacemos el cambio. Z = v+h, u = r+k, donde (h,k) es la solución del sistema:

Luego z = v + 2 dz = dv; u = r + 1 du = dr
En (2): …. (3) (Homogéneo)
Sea
En (3):



(4)
Pero
En (4):

Resolver la E.D. (2x3 + 3y2x - 7x) dx – (3x2y +2y3-8y) dy =0
Resolver las E.D.:
(y2 – 1nx) dx + xy3 dy = 0
(tgx – cotgy + 3) sec2xdx – (3 tgx + cotgy + 1) cosc2ydy = 0
Solución:
a) Tenemos que:
(1)
Hacemos
En (1): (2)
Hacemos
En (2):
(Homogénea)
Sea
En (3):





(4)
Pero
En (4):
b) Tenemos:
Sea
En (1): (2)
Ahora sea:
En (2):
Como: 1(1) ¹ 3(-1), hacemos:

Hacemos el cambio: v = t –1, u = z + 2 dv = dt, dz = du
En (3): (4)
Ahora sea
En (4) :


(5)
Pero
En (5):
Ecuaciones Lineales y Reducibles a Lineales
Solución
La ecuación puede escribirse como:

(Bernoulli) (1)
Multiplicamos (1) por y2: (2)
Hacemos:
En (2): (3)
Sea F.I. (4)
Ahora: (3)x(4):

Pero u = y3. Quede: y3 = -x31nx + x3 + cx2
Resolver: (x41nx – 2xy) dx + 3x2y2dy = 0Solución
yy’ = cosx – (cotgx)y2 y’ + (cotgx)y = (cosx)y-1 (Bernoulli)
yy’ + (ctgx)y2 = cosx. Sea u = y2 u’ = 2yy’ yy’ = u’
u’ + (cotgx) u = cosx u’ + (2 cotgx)u = 2cosx (E.D.L.) (1)
F.I. =
(1) x.F.P.:

Resolver: yy’ = ctg x (sen x-y2)
Solución
Tenemos:
(Bernoulli) (1)
Multiplicamos por y-3, nos queda:
(2)
Cambio:
En (2):
(3)

Ahora (3) x F.I.:


Pero nosqueda: senx
Resolver: 2senxy’ + y cosx = y3 (x cosx-senx)
sec2ydy – tg3ydx = -x tg ydx
Solución
sec2y
(1)
Sea u = tgy u’ = sec2y.y’ (2)
(2) en (1): u’ – u3 = xu u’ + xu = u3 (Bernoulli)
u-3u’ + xu-2 = 1. De (3).
Sea z = u-2 z’ = -2u-3u’ - z’ = u-3 u’
En (3): z’ + xz = 1 z’-2xz = -2 (E.D.L.) (4)

(5)
Pero z = u-2 Ù u = tgy z = (tgy)-2 (6)
(6) en (5):
ResolverSolución:
Tenemos: xy’-y-y 1n(y/x) x3y 1n2(y/x)
Dividendo entre xy, tenemos:
(1)
Sea u = 1n (y/x)
En (1): (Bernoulli) (2)
Multiplicando por u-2, queda: u-2.u’ - u-1 = x2(3)
Hacemos cambio:
En (3): (Lineal) (4)
F.I. =
(4) x F.I.:
ro z = u-1 = , nos queda:

Exactas y Reducibles a Exactas
Resolver:

Puede ser resuelta utilizando un factor integrante de la forma xm...