ecuaciones lineales en derivadas parciales

ECUACIONES LINEALES EN DERIVADAS PARCIALES.

CARLOS S. CHINEA

ECUACIONES LINEALES EN
DERIVADAS PARCIALES

1. INTRODUCCIÓN.
1.1. DE PRIMER ORDEN.
1.2. DE ORDEN SUPERIOR AL PRIMERO.
1.3. DE SEGUNDO ORDEN.
2. SOLUCION DE LAS ECUACIONES CON COEFICIENTES
CONSTANTES.
2.1. SOLUCIONES DE LAS HOMOGÉNEAS.
2.2. SOLUCIONES DE LAS COMPLETAS.
3. SOLUCION DE LAS ECUACIONES CON COEFICIENTESVARIABLES.
3.1. LAS ECUACIONES ANÁLOGAS A LAS DE EULER.
3.2. CASOS SIMPLIFICADOS
3.3. REDUCCIÓN A TIPOS CANÓNICOS.
4. BIBLIOGRAFÍA
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DIVULGACION DE LA MATEMÁTICA EN LA RED

MARZO 2003

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ECUACIONES LINEALES EN DERIVADAS PARCIALES.

CARLOS S. CHINEA

1. INTRODUCCIÓN:

1.1.

DE PRIMER ORDEN:

Se llama ecuación en derivadas parciales lineal de primer orden a unaecuación
funcional de la forma

∂u

n

∑ f (x , x ,..., x , u ) ∂x
i

i =1

1

2

n

= g ( x1 , x 2 ,..., xn , u )

[1.1]

i

Siendo u función no conocida de las n variables x1, x2, ..., xn , y las funciones f i y g
dependen de todas las variables x1, x2, ..., xn, u.

∑ [ f D ] u = g ( x , x ,..., x , u ) .
n

Es corriente también para [1.1] la notación

i

i

1

2n

i =1

φ( x1 , x2 ,..., xn , u ) = 0 una solución implícita de la ecuación anterior que depende
∂φ ≠ 0 , se tiene que es
implícitamente de u, esto es, que
∂u
Si es

∂φ ∂φ ∂u
+
=0
∂x i ∂u ∂x i
por lo que podemos despejar

y al sustituir en [1.1] obtenemos
n

∑ f (x , x
i =1

resultando,

pues,

φ( x1 , x 2 ,..., x n , u )

i

una

1

2

∂φ
∂u
∂xi
=−
∂φ∂x i
∂u

,..., x n , u )

ecuación

∂φ
∂φ
+ g ( x1 , x 2 ,..., xn , u )
=0
∂x i
∂u

lineal

en

derivadas

parciales

para

la

función

Esto quiere decir que se verifica, para cada una de las funciones de la ecuación
diferencial el llamado sistema diferencial característico de la ecuación en
derivadas parciales:

dx1 dx 2
dx
du
=
= ... = n =
f1
f2
fn
g
Si seconocen n integrales primeras distintas de la ecuación diferencial [1.1]:

φ1 , φ2 , ..., φ2
podemos escribir la solución general de la misma como

F (φ11 ,φ2 , ..., φn ) = 0 , en la

forma implícita.

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1.2.

CARLOS S. CHINEA

DE ORDEN SUPERIOR AL PRIMERO:

Son ecuacionesdiferenciales de la forma
n

∑

α ∈A

∂α i u
f i ( x1 , x2 ,..., xn , u ) α1 = g ( x1 , x2 ,..., x n , u )
∂xi

donde las funciones que intervienen, f i y g, lo son de las variables x1, x2, ..., xn .
La ecuación diferencial lineal se dice homogénea, si es

g ≡ 0 , caso contrario diremos

que se trata de una ecuación completa.
Puede emplearse aquí también la notación:


αi 
 ∑fα Di  u = g ( x1 , x2 ,..., xn , u )
α ∈ A


o, de forma más breve, puede escribirse como



L[u] = g , donde es L =  ∑ fα Di αi 
α∈A

El operador L así introducido presenta algunas propiedades elementales que permiten
actuar de forma muy precisa en el estudio formal de estas ecuaciones:
1) Es lineal, pues debido a la linealidad de la derivada parcial es:

 r
 r
L ∑ c kuk  = ∑ ck L[u k ]
 k =1
 k =1
2) Si se conoce una solución particular,

u j , el cambio u = u j + v transforma a la

ecuación completa en una ecuación homogénea:

[

] [ ]

[ ]

L[u ] = L u j + v = L u j + L[v ] = g ∧ L u j = g ⇒ L[v] = 0
3) Cualquier combinación lineal de soluciones de la ecuación homogénea es
también solución de la ecuación homogénea:
s
s
 s

u jsoluciones , j = 1,2,...s ∧ ∀c j ∈ R ⇒ L ∑ c j u j  = ∑ c j L u j = ∑ c j .0 = 0
j =1
 j =1
 j =1

[ ]

4) S

es

u = u ( x1 , x 2 ,..., x n ; σ1 , σ2 ,...,σ n ) una solución multiparamétrica de la

ecuación homogénea, entonces la expresión integral siguiente es, también, una
solución de dicha ecuación

w = ∫ N (σ1 ,σ 2 ,..., σn ).u (x1 , x2 ,..., x n ; σ1 ,σ 2 ,..., σn...