Ecuaciones Entre Derivadas Parciales

Ecuaciones entre derivadas parciales

En matemáticas una ecuación en derivadas parciales es aquella cuyas incógnitas son funciones de diversas variables, con la peculiaridad de que en dichaecuación figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas. Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables. O bien una ecuación que involucre una función matemática  devarias variables independientes  y las derivadas parciales de  respecto de esas variables.
1) o bien 1’) xp + yq = z (Orden uno)

2) o bien 2’) r + 3s + t = 0 (Orden dos)

Para escribir1’) y 2’) se ha utilizado una notación que se emplea mucho en el cálculo diferencial.
p = q = r = s = t =

Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulaciónmatemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos como la propagación del sonido o del calor, la electrostática,la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y entre otros.
Algunos ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales lineales de segundo orden que desempeñan un papel importanteen Ingeniería son las siguientes.

1. Ecuación unidimensional del calor

2. Ecuación unidimensional de onda

3. Ecuación bidimensional de Laplace


Eliminación de constantes arbitrarias
Consideremosla función de dos variables independientes que contiene además dos constantes arbitrarias. Deseamos eliminar estas constantes, hallando una ecuación satisfecha por u para cuales quiera valores dea y b. Para ello calculamos las derivadas parciales de u respecto a x e y:
sustituyendo estas derivadas en la expresion original obtenemos:
que es una EDP de primer orden no lineal.

Eliminación defunciones arbitrarias

Analicemos un sencillo ejemplo: dada una función arbitraria φ(r, s), queremos eliminarla de la relación

Para ello calculamos las parciales respecto de las variables...