Ecuaciones derivadas parciales

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Cap´ ıtulo 8

Introducci´n a las ecuaciones en o derivadas parciales
En la ultima parte del temario de la asignatura M´todos Matem´ticos de la F´ ´ e a ısica V vamos a realizar un estudio introductorio y bastante elemental de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (en lo sucesivo abreviadas como edp), una vez que ya se han analizado con suficiente amplitud en los cap´ ıtulosprecedentes las ecuaciones diferenciales ordinarias.

8.1

Comentarios generales

Al igual que se hizo anteriormente para las ecuaciones diferenciales ordinarias, el enfoque que se ofrecer´ en esta presentaci´n de las edp ser´ eminentemente pr´ctico (no se tarta de a o a a efectuar aqu´ un an´lisis del m´s alto rigor matem´tico), insistiendo sobre todo en mostrar ı a a a los m´todos m´s usuales delos que se dispone para la resoluci´n de algunas de las edp m´s e a o a relevantes para un f´ ısico. Se obviar´n, por tanto, la mayor parte de los detalles t´cnicos m´s a e a delicados que, siendo muy importantes, forman un campo de estudio ampl´ ısimo y sumamente interesante. Estos vastos territorios necesariamente deben quedar fuera del alcance de un curso como ´ste, ya que su estudio requerir´primero un tiempo del que no disponemos y e ıa segundo el conocimiento de unas t´cnicas matem´ticas bastante sofisticadas, que no forman e a parte de la formaci´n b´sica de un f´ o a ısico (por ejemplo determinados temas avanzados de An´lisis Funcional, como son la teor´ de los espacios de Hilbert y de Sobolev, o la teor´ de a ıa ıa la medida). Por falta de tiempo, tampoco abordaremos en estecurso el estudio de los m´todos e num´ricos de resoluci´n de edp, t´cnicas sumamente utiles en las aplicaciones concretas, e o e ´ remitiendo al estudiante interesado a consultar textos m´s especializados (por ejemplo el lia bro ya cl´sico de Press, Flannery, Teukolsky y Vetterling que aparece citado en la bibliograf´ a ıa recomendada). ıtulos en los que se ha organizado Antes de comenzar con eldesarrollo concreto de los cap´ el contenido del curso, parece pertinente hacer unos comentarios generales que conviene tener presentes a lo largo del desarrollo de los temas que seguir´n: a a) La teor´ de las edp no se restringe, ni mucho menos, al caso de dos variables indepenıa dientes (x, y) o (x, t), como pudiera deducirse tras el estudio de algunos libros de edp. 1

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Cap´ ıtulo 8.Introducci´n a las ecuaciones en derivadas parciales o

Es cierto que haremos un ´nfasis especial en las ecuaciones con dos variables indepene dientes (entre otras cosas porque su estudio es m´s sencillo y tambi´n por su inter´s a e e pr´ctico), pero no ser´n las unicas que estudiemos, de manera que quien siga este curso a a ´ debe ser consciente de que los m´s modernos descubrimientos sobre las edp,sean ´stas a e lineales o no lineales, han permitido el an´lisis riguroso de edp con cualquier n´mero a u de variables independientes. En concreto, y como se ver´ m´s adelante en el caso de las a a ecuaciones de segundo orden, es usual efectuar una clasificaci´n de las edp en diveros o tipos est´ndar; esto se hace de manera bastante sencilla en el caso de dos dimensiones, a pero crea la falsaimpresi´n en el estudiante de que existe alg´n tipo de esquema de o u clasificaci´n general v´lido en dimensi´n arbitraria, lo cual no es cierto. o a o b) Aunque en esta asignatura se insistir´ sobre todo en el estudio de edp lineales, muchas a edp interesantes y de gran importancia pr´ctica resultan ser no lineales. Hemos de decir a que actualmente se conocen muchos resultados sobre edp lineales y muypocos sobre edp no lineales (esto explica sin duda el ´nfasis que se pone habitualmente en el estudio e de las edp lineales). c) Muchas de las edp que se estudiar´n en el curso, en especial las edp no lineales de a primer orden, en general no poseen soluciones suficientemente suaves (es decir, soluciones que sean indefinidamente derivables). Resulta por tanto conveniente contemplar la idea de que...
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