Ecuaciones Lineales No Homogéneas
Páginas: 3 (525 palabras)
Publicado: 13 de enero de 2013
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Cuando en la ecuación diferencial la función g(x) contiene sólo tres tipos de funciones:polinomios, exponenciales y trigonométricas, o combinaciones de ellas, el método de resolución se denomina de “coeficientes indeterminados”.
El método consiste en proponer la forma de la soluciónparticular yp (con coeficientes indeterminados) a partir de la forma del término g(x).
Ejemplos Soluciones Particulares
Ejemplo:
Resuelva la EDLNH: y´´ - 6y´ + 9y = 6x2 + 2 - 12e3x
1.Resolución de la ecuación homogénea auxiliar
La ecuación homogénea auxiliar es: y´´-6y´+9y = 0
La ecuación auxiliar de la misma: m2-6m+9= (m-3)2
Nos conduce a que: yh=c1e3x+c2xe3x.2. Proponer una solución particular yp
g(x)= 6x2 + 2 - 12e3x es una combinación lineal de funciones polinomiales y exponenciales.
Por lo anterior, la solución propuesta es:yp = yp1+yp2, donde
yp1=Ax2+Bx+C es una solución propuesta para la expresión 6x2 + 2 y
yp2=De3x es una solución propuesta para la expresión -12e3x.
Esto nos conduce ayp= (Ax2+Bx+C) + De3x
3. Modificar la solución particular propuesta
Cuando se propone una solución particular para la ED no homogénea puede ocurrir que una función de la solución particularpropuesta es también solución de la ED homogénea relacionada.
En este caso se debe modificar la yp propuesta comparándola con yh y multiplicando por x los términos de yp que estén incluidos en yh.Después se vuelven a comparar yp y yh y se vuelven a multiplicar por x los términos que sigan incluidos. Este proceso continúa hasta que ninguno de los términos de yh esté repetido en yp.
Alinspeccionar yp= (Ax2+Bx+C) + De3x con la solución para la EDL homogénea yh=c1e3x+c2xe3x, vemos que el término De3x se duplica en yh (c1e3x) por lo que se procede a multiplicar el término De3x por x,...
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Cuando en la ecuación diferencial la función g(x) contiene sólo tres tipos de funciones:polinomios, exponenciales y trigonométricas, o combinaciones de ellas, el método de resolución se denomina de “coeficientes indeterminados”.
El método consiste en proponer la forma de la soluciónparticular yp (con coeficientes indeterminados) a partir de la forma del término g(x).
Ejemplos Soluciones Particulares
Ejemplo:
Resuelva la EDLNH: y´´ - 6y´ + 9y = 6x2 + 2 - 12e3x
1.Resolución de la ecuación homogénea auxiliar
La ecuación homogénea auxiliar es: y´´-6y´+9y = 0
La ecuación auxiliar de la misma: m2-6m+9= (m-3)2
Nos conduce a que: yh=c1e3x+c2xe3x.2. Proponer una solución particular yp
g(x)= 6x2 + 2 - 12e3x es una combinación lineal de funciones polinomiales y exponenciales.
Por lo anterior, la solución propuesta es:yp = yp1+yp2, donde
yp1=Ax2+Bx+C es una solución propuesta para la expresión 6x2 + 2 y
yp2=De3x es una solución propuesta para la expresión -12e3x.
Esto nos conduce ayp= (Ax2+Bx+C) + De3x
3. Modificar la solución particular propuesta
Cuando se propone una solución particular para la ED no homogénea puede ocurrir que una función de la solución particularpropuesta es también solución de la ED homogénea relacionada.
En este caso se debe modificar la yp propuesta comparándola con yh y multiplicando por x los términos de yp que estén incluidos en yh.Después se vuelven a comparar yp y yh y se vuelven a multiplicar por x los términos que sigan incluidos. Este proceso continúa hasta que ninguno de los términos de yh esté repetido en yp.
Alinspeccionar yp= (Ax2+Bx+C) + De3x con la solución para la EDL homogénea yh=c1e3x+c2xe3x, vemos que el término De3x se duplica en yh (c1e3x) por lo que se procede a multiplicar el término De3x por x,...
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