Ecuaciones lineales homogéneas

ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS

Con coeficientes constantes

ay"+by´+cy=0

y=emx y1=em1x

y=memx y2=em2x
y"=m2emx

am2emx+bmemx+cemx=0
emx(am2++bm+c)=0
emx≠0
am2+bm+c=0
m1,2=-b±b2-4ac2a
b2>4ac-→raices realesm1≠m2 distintas
b2=4ac-→raices realesiguales
b2<4ac-→raices complejas conjugadas

E.c lineales homogéneas con coeficiente constante

Con raíces reales diferentes
r1=-3j r2=12
Las soluciones quedan como
y1t=e-3t, y2(t)=e1/2t
Solo nos falta verificar si son soluciones fundamentales usando el wrons vilano
W e-3t, e12t=3e-3t 12.e12t= -5e-52t2
Raíces reales diferentes | Raíces reales repetidas | Raíces complejasy conjugada |
m1=-b±b2-4ac2am2=-b±b2-4ac2a | m = -b2a | m=-b2a±b2-4ac2aα=Re(m)β=1Imm |
y1(x)=em1xy2=em2x | CFSy1=emxy2=xemx | CFSy1x=eαxcosβ(x)
y2x=eαxsinβ(x) |
Solución generalY(x)=c1y1+c2y2=c1em1x+c2em2x | Solución generalY(x)= c1y1+c2y2=c1em1x+c2em2x | Solución general Y(x)=c1y1c2y2 =c1eαxcosβx+c2eαxsinβ(x)=eαxc1cosβx+c2 sinβ(x) |

Caso I.- RAICES REALES DISTINTAS.
Si la ecuaciónes:
am2+bm+c=0
Tiene 2 raíces distintas y m2, llegamos a dos soluciones, (y=em2 ) y (y2 =em2x).Estas funciones son linealmente independientes (-∞,∞) y en consecuencia forman un conjunto fundamental entonces la solución general de la ecuación (2) en este intervalo.
Ecuación (2)=am2mx℮+bmemx+cemx=0 ósea emx(am2+bm+c)=0
Y=c1en1x+c2en2x

Caso II.- RAICES REALES E IGUALES.-
Cuando n1=n2llegamos necesariamente, solo a una solución, y2=emx según la fórmula cuadrática m2=-b/2a por que la única forma de que m1=m2 es que b2-YaC=0 asi lo argumentado (en la sección u2).
Una segunda ecuación:
y2=emx∫e2mxe2mx=emx∫dx=xemx
En esta ecuación aprovechamos que b/a=2mx
La solución grafica es consecuencia:
Y=c1em1x+c2xem1x

Caso III.-Raíces complejas conjugadas.-
Si M1 y M2 soncomplejos podemos escribir M2=∞+ib y M2=∞-ib donde ∝y ´b>o y son raíces reales, eiz=-1.No hay diferencia formal entre caso y caso 1; por ello;
Y=c1e(α+ie)+c2e∝-ipx

ay"+by´+cy=0
y"+bay´+cay=0
px=ba , Qxca=0

E.c Auxiliar

am2+bm2+c=0
m1,2=-b±b2-4ac2a
I
caso I: b2>4ac
caso II: b2=4ac
caso III :b2<4ac

2y"-5y´-3y=0

a=2
b=-5
c=-3m1,2=-b±b2-4ac2a--→m1,2=--5±52-42-322-→m1,2=-b±494

m1=5+74--→m1=3 m2=5-74--→m2=-12
y1=e3x ; y2=e-12x---→y=c1e3x+c2e-12x

Caso I raíces reales diferentes
m1≠0
m2≠0
m1≠m2
y1=em1x
y2=em2x
y=c1em1x+c2em2x

Caso II raíces iguales
m1,2=-ba
y1=emx
y2=y1e-pxdx-→ em1xe- b/adxe2mxdx-→ea=ea.b

m1=-b2a-→2m1=-ba
y2=em1xe2mxe2mxdx=em1xdx
y2=em1x y=c1emx+c2emx

y"-10y´+25y=0
a=1
b=-10
c=25m1,2=-b±b2-4ac2a-→m1,2=-10±(10)2-412521-→m1,2=-10±02
m1=102=5 m2=102=5
y1=e5x ; y2=e5x--→y=c1e5x+c2e5x

Caso III
:b2<4ac
m1=α+βi
m2=α-βi
α=-b2a
β=b2-4ac2a
y=c1eαxcosβx+c2eαxsinβ(x)
y=eαxc1cosβx+c2 sinβ(x)

y"+y´+y=0
a=1
b=1
c=1

m1,2=-b±b2-4ac2a--→m1,2=-1±12-41(1)2(1)-→m1,2=-1±1-42
m1,2=-1±32--→m1,2-12±32i ;i=-1
α=-12 , β=32
y=e-12x(cos(3/2x)+sin⁡(32x)


EJENPLOS

(1) 4y"+y´=0

a=4
b=1
c=0
m1,2=-b±b2-4ac2a--→m1,2=-1±12-44(0)2(4)-→m1,2=-1±1-08
m1=-1+18--→m1=0 m2=-1-18--→m2=-28-→-14
y=c1em1x+c2em2x
y=c1e0+c2e-14--→y=c1+c2e-14x

(2)
y"-36y=0

a=1
b=0
c=-36m1,2=-b±b2-4ac2a--→m1,2=0±0-41(-36)2(1)-→m1,2=0±1442
m1=0+122--→m1=6 m2=0-122--→m2=-6
y=c1em1x+c2em2x--→ y=c1e6x+c2e-6x
(3)
y"-y´-6y=0
a=1
b=-1
c=-6

m1,2=-b±b2-4ac2a--→m1,2=1±1-41(-6)2(1)-→m1,2=1±252
m1=1+52--→m1=3 m2=1-52--→m2=-2
y=c1em1x+c2em2x--→ y=c1e3x+c2e-2x

(4)
d2ydx2+8dydx+16y=0--→y"+8y´+16y=0
a=1
b=8
c=16

m1,2=-b±b2-4ac2a--→m1,2=-8±(82)-41(16)2(1)-→m1,2=1±02...