Ecuaciones Lineales

DGEST SEP SNEST



INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TOLUCA

Unidad III: Sistemas de ecuaciones lineales

Ensayo

Carrera

Ingeniería en Sistemas Computacionales

Presenta

Metepec 3er semana (verano 2012)
Introducción.
Abordaremos los temas vistos en la unidad III: Sistemas de ecuacioneslineales, para ver la forma en que se pueden resolver estos sistemas con matrices utilizando el método de Gauss Jordan y Gausseana, así como sacar la inversa de una matriz.
Ecuaciones
Un sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” variables es un conjunto de ecuaciones, el sistema se puede denotar como:
Los aij son constantes conocidos y los valores del vector “b” también son conocidos.
Unasolución al sistema es una sucesión de números que satisfacen a cada ecuación.
Se dice que las ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución, un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene muchas soluciones y es inconsistente cuando no tiene solución.
a11a12a21a22⋮bb Matriz aumentada
Clasificación de ecuaciones lineales e interpretación de las ecuaciones.* Ejemplo de Solución Única
x+y=3x-y=-1
x+y=3x-y=-1 1+y=3y=3-1 y=2
2x=2x=-22x=1 (1,2)
x+y=3→1 x-y=-1→2
si x=0si y=00+y=3x+0=3y=3x=3 si x=0si y=00-y=-1-1x+0=-1y=1x=-1
(0,3) (3,0) (-1,0) (0,1)
SOLUCIÓN ÚNICA por intersección
1,2
* Ejemplo de Solución Infinita
x+y=32x+2y=6

x+y=3→1 2x+2y=6→2
si x=0siy=00+y=3x+0=3y=3x=3 si x=0si y=020+2y=62x+0=6y=62x=62
(0,3) (3,0) y=3x=3 (3,0) (0,3)
SOLUCIÓN INFINITA
x,3-x x+y=3x=3-y
* Ejemplo de SIN solución
x+y=3x+y=1
si x=0si y=00+y=3x+0=3y=3x=3 si x=0si y=00+y=1x+0=1y=1x=1
No Tiene Solución
Sin solución
Si el determinante del sistema es 0 puede tener muchas soluciones ono tiene y si es diferente de 0 entonces es solución única.
Operaciones elementales con renglones y Método de solución de ecuaciones lineales.
-Operaciones elementales con renglones.
Las 3 operaciones elementales aplicadas a un sistema de ecuaciones lineales, representado por la matriz aumentada son:
1.- Multiplicar un renglón. Ri→CRi
2.- Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.Rj→Rj+CRi
3.- Intercambiar renglones. Ri↔Rj

* Método de eliminación de Gauss Jordan
1.- Se multiplica la 1er ecuación para hacer el coeficiente de x1= 1.
2.- Se eliminan los términos de x1 de la ecuación 2 y 3. Esto es, se hace 0 el coeficiente multiplicando la 1er ecuación por los números adecuados y sumando a la ecuación 2 y 3 respectivamente.
3.- Se multiplica la 2da ecuación para hacerel coeficiente de x2=1 y usar la segunda ecuación para eliminar los términos en x2 de la 1er y 3er ecuación respectivamente.
4.- Se multiplica la 3er ecuación para hacer el coeficiente x3 =1 y después usar la 3er ecuación para eliminar los términos en x3 de la 1er y 2da ecuación.
EJEMPLOS DE SISTEMAS RESUELTOS POR GAUSS JORDAN
* Solución única.
2x1+4x2+6x3=184x1+5x2+6x3=243x1+x2-2x3=424645631-2⋮18244 | R1→1/2R1 | 12345631-2⋮9244 | | 1230-3-60-5-11⋮9-12-23R2→-1/3R2 |
| | | R2→R2-4R1 | |
| | | R3→R3-3R1 | |
1230120-5-11⋮94-23 | R1→R1-2R2 | 10-101200-1⋮14-3 | | 10-1012001⋮143 | R1→R1+R3 |
| | | | | R2→R2-2R3 |
| R3→R3+5R2 | | R3→-1R3 | | |
100010001⋮4-23 | | | | |
Solución Única
X1=4
X2=-2 4,-2, 3
X3=3
* Solución Infinita2x1+4x2+6x3=184x1+5x2+6x3=242x1+7x2+12x3=30
2464562712⋮182430 | R1→1/2R1 | 1234562712⋮92430 | | 1230-3-6036⋮9-1212R2→-1/3R2 |
| | | R2→R2-4R1 | |
| | | R3→R3-2R1 | |
123012036⋮9412 | R1→R1-2R2 | 10-1012000⋮140 | | | |
| | | | | |
| R3→R3-3R2 | | | | |
Solución Infinita
x3+1, 4-2x3, x3 *x1-x3=1 → x1=1+x3 * x3=x3 *x2+2x3=4 → x2=4-x3
* Sin Solución...