Ecuaciones Lineales

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO

3.2.2 La Ecuación Diferencial Lineal De Primer Orden
Una ecuación que puede escribirse en la forma dy  P  x  y  Q x  (10) dx Donde Px  y Qx  son funciones dadas de x se llama una ecuación diferencial de primer orden lineal. Es fácil verificar que la ecuación tiene como factor P dx integrante a e  , puesto queal multiplicar ambos lados de (10) por este factor se obtiene

e
lo cual es equivalente a

P dx

P dx P dx dy  P y e  Q e dx

(11)

d   Pdx   Pdx (12) ye  Qe dx   Esto es cierto debido a que si usamos la regla del cálculo para la diferenciación de un producto, el lado izquierdo de (12) es d   Pdx  d  Pdx   e  Pdx dy  y e  Pdx P   e  Pdx dy  e  Pdx dy  P y e Pdx ye  y  e   dx  dx dx dx dx    esto es, el lado izquierdo de (11). De (12) obtenemos por integración la solución.? Pdx Pdx (13) y e   Q e  dx  c



Observación. No hay necesidad de memorizar (13). Es mucho mejor usar Pdu el factor integrante   e  , multiplicar la ecuación dada (10) por este factor y luego escribir el lado izquierdo como la derivada del producto de  cony como en (12). EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 Resuelva:

dy  5 y  50 dx

Solución: Esto está en la forma (10) con P  5 , Q  50 Un factor integrante es el 5 dx e   e5 x , Multiplicando por e 5x , podemos escribir la ecuación como

d ye 5 x  50e 5 x dx
esto es





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y e5 x  10 e5 x  c

ó

y  10  ce 5 x

Se podría haber usado también el método de separación de variables.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 dI 10 I   10 dado que I  0 donde t  0 . Resuelva: dt 2t  5 Solución: La ecuación tiene la forma (10), remplazando con y con . Un 10 dt /  2 t  5  5 5 factor integrante es e  e5 ln 2t 5   e ln 2t 5   2t  5 multiplicando Por , encontramos. d 2t  55 I  102t  55 o I 2t 55  5 2T  56  c dt 6 Colocando I  0 y t  0 en la ecuación, tenemos

2t  55





Así

5 2t  5  78.125 5 6 62t  5 Realmente no hay necesidad de considerar (10) como una nueva ecuación puesto que pertenece a. una categoría ya considerada, la categoría de ecuaciones con un factor integrante el cual es una función de sólo una variable. A pesar de esto, la forma en la cual(10) aparece ocurre tan frecuentemente en aplicaciones prácticas, y el método de solución es tan simple, que vale la pena llegar a estar familiarizado con ella. Sin embargo, si el estudiante no puede reconocer que una ecuación particular tiene la forma (10) puede estar seguro que el método de los factores integrantes de una variable si funcionará. Por ejemplo, considere la ecuación y dx  3  3x y  dy  0 la cual discutimos en el Ejemplo ilustrativo 2. Si se nos ocurre reconocer que esta ecuación se puede escribir como dx 3x y  3   dy y y la cual está en la forma (10) con y intercambiados, podemos resolverla como una ecuación lineal. (Ver Ejercicio 3A). En otro caso podemos buscar un factor integrante que involucre una sola variable. Para mostrar que este método es aplicableescribirnos (10) como I

Pxy  Qx dx  dy  0
Entonces N = 1,
M  Px y  Q(x),
N  1,

M  Px , y

N  0, x

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO Ahora Px   01  Px  es una función de x sólo, y así e  integrante EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 Resuelva: Solución: (1) La ec (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden: ( ) Con ( )De tal modo que el factor integrante es: (2) Multiplicando cada término de (1) por el factor integrante (2) ( )
∫
P  x dx

es un factor

( )

(3) Como el miembro izquierdo de (3) es el desarrollo de la derivada del producto , se tiene: ( ) ( ) ( ∫ ( ) ) ∫

(4) ( ) ( ) Como : dominio de y dominio de , los coeficientes son continuos en todo ; y de (4) se concluye que la solución...