Ecuaciones segundo grado

INVESTIGACIÓN

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH – HURWITZ
LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

ING. MECATRÓNICA

ASIGNATURA:
CONTROL AUTOMÁTICO

PROFESOR:
ING. JOSÉ ÁNGEL RAMÍREZ DEL VALLE

FECHA DE ENTREGA:
02 DE JULIO 2010

Tabla de contenido
INTRODUCCIÓN 3
Criterio de estabilidad de Routh Hurwitz. 4
EJEMPLOS 6
Casos especiales. 7
Análisis de estabilidad relativa. 9LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 12
CONDICIONES DE ANGULO Y MAGNITUD 13
Ejemplo 14
Pasos del Método 16
LUGAR GEOMÉTRICO SOBRE EL EJE REAL 19
ÁNGULOS DE PARTIDA Y LLEGADA DEL LUGAR GEOMÉTRICO A RAÍCES COMPLEJAS 19
CONCLUSIONES 21
BIBLIOGRAFIA 23
ANEXOS 23

INTRODUCCIÓN

Hemos estudiado los circuitos eléctricos a lo largo del curso; como son sus ecuaciones características en serie yen paralelo de acuerdo a las EDO, las aplicamos a Laplace para darle una interpretación en esta materia de control automático y obtener nuestra función de transferencia. También vimos su respuesta en combinación con varios elementos y diferentes alimentaciones, todo relacionado para llegar a este punto de investigación que se llama estabilidad.
La respuesta de un sistema con realimentacióndetermina en base a criterios de sus ecuaciones, conocer si un sistema es estable o inestable y en que puntos se mantiene en esas condiciones. Lo que un sistema busca es siempre ser estable al menor tiempo posible, es decir, con una respuesta rápida y lo más lineal permitido.
Los siguientes temas de criterio de estabilidad de Routh – Hurwitz y el lugar geométrico de las raíces son herramienta que nosayudan a verificar y demostrar la estabilidad de un sistema de orden superior a través de los conceptos básicos de control.
Veremos como con conocimientos de mallas, algebra, simbología, transformadas de Laplace y ecuaciones de orden superior podemos llevarlo a la aplicación en control.

Criterio de estabilidad de Routh Hurwitz.
El problema más importante de los sistemas de control linealtiene que ver con la estabilidad. Es decir:¿Bajo qué condiciones se vuelve inestable un sistema? Si es inestable, ¿Cómo se estabiliza? Un sistema de control es estable si y sólo si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. Dado que casi todos los sistemas lineales en lazo cerrado tienen funciones de transferencia en lazo cerrado de la forma:C(s)Rs=b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=B(s)A(s)
En donde las a y las b son constantes y m≤n, primero debemos factorizar el polinomio A(s) para encontrar los polos en lazo cerrado. Un criterio simple, conocido como el criterio de estabilidad de Routh, permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s sin tener que factorizar el polinomio.El criterio de estabilidad de Routh nos dice si existen o no raíces inestables en la ecuación polinomial sin tener que obtenerlas en realidad. Solo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos. Cuando se aplica el criterio a un sistema de control, la información acerca de la estabilidad absoluta se obtiene directamente de los coeficientes de la ecuación característica.
Elprocedimiento en el criterio de estabilidad de Routh es:
a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0
Donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que an es diferente que 0; es decir, se elimina cualquier raíz cero.
Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tienen partes reales positivas. En tal caso elsistema no es estable. Si solo nos interesa la estabilidad absoluta no es necesario continuar con el procedimiento. Observe que todos los coeficientes deben ser positivos. Esta es una condición necesaria, como se aprecia a partir del argumento siguiente: un polinomio en s con coeficientes reales siempre puede factorizarse en factores lineales y cuadráticos tales como (s+a) y (s2+bs+c) en donde a,...