Ecuaciones d emaxwell

ECUACIONES DE MAXWELL
Estas ecuaciones relacionan los vectores intensidad de campo eléctrico (E) e inducción magnética (B), con sus fuentes, que son las cargas eléctricas, las corrientes y los campos variables. La modificación del espacio por presencia o movimiento de cargas lo llamamos campo electromagnético, caracterizado por los vectores E y B, de tal forma que la fuerza que aparece sobre unacarga eléctrica es : F = q0 (E + v x B ).

Primera ley de Maxwell o ley de Gauss para el campo E
r r ΦE = ò E.ds = q/ε0
S

El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada que encierra las cargas q1, q2,.......qn, está dado por la expresión anterior Y C´ C D´

da
E´ A´ B´

D

E

dy dx
A

B

da

dz

Z

X

El flujo que atraviesa la superficie será : ΦE =

∂E ∂E ∂EX .dv + Y dv + Z dv ∂x ∂y ∂z

Si dq es la carga dentro del volumen dv, por la ley de Gauss nos queda: ΦE = (
∂E ∂E X ∂E + Y + Z ) dv = dq/ε0 Þ si dq/dv = ρ ∂y ∂x ∂z

(

∂E X ∂E ∂E + Y + Z ) = ρ/ε0 Þ div E = ρ/ε0 ∂x ∂y ∂z

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Segunda ley de Maxwell o ley de Gauss para el campo magnético
r r B.ds = 0 ò
S

El flujo magnético a través de una superficie cerrada es siempre

nulo. Enforma diferencial, por analogía con la ley de Gauss para el campo eléctrico, obtenemos :
∂BX ∂BY ∂BZ = 0 ó div B = 0 + + ∂x ∂y ∂z

Tercera ley de Maxwell o ley de Faraday - Henry

r r d r r E.dl = − ò B.ds òL dt S Un campo magnético dependiente del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico, tal que su circulación a lo largo de un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivadacon respecto al tiempo del flujo magnético a través de una superficie limitada por el camino. Esta ley describe como son las líneas de E que rodean un área donde el flujo magnético que la atraviesa, está variando. Supongamos un camino rectangular infinitesimal PQRS sobre el plano xy
Y

S

E´

dx R dy
Az

E

uy uz
Z

P
B

Q

ux
X

2

ò
ò E.dl.cosθ
QR

PQRS

r r E.dl=

ò

PQ

+ò +ò +ò
QR RS

SP

= EY.dy

ò E.dl.cosθ
SP

= - E’Y.dy

Þ

ò

QR

+ò

SP

= (EY - E’Y) dy

la distancia entre PQ es (dx)

la variación del campo ∆E = (EY - E’Y) vale dEY. Þ

ò

QR

+ò

SP

= (EY - E’Y) dy =

dEY.dy =

∂EY .dx.dy ∂x

ò

PQ

+ò

RS

= -

∂E X .dy.dx La suma de las cuatro integrales valen: ∂y

ò

PQRS

r rE.dl =

ò

PQ

+ò +ò +ò
QR RS

SP

= (

∂EY ∂E X ) .dx.dy ∂x ∂y

el flujo a través de

r r B.ds : ΦPQRS = òS

= BZ.dx.dy

Sustituyendo en

r r d r r òL E.dl = − dt ò B.ds S

se obtiene:

(

d ∂EY ∂ E X ∂EY ∂E X ∂B ) .dx.dy = - ( BZ.dx.dy) Þ =- Z dt ∂x ∂x ∂y ∂t ∂y

colocando el rectángulo infinitesimal en los planos yz y zx :

∂EZ ∂EY ∂B − =− X ∂y ∂z ∂t

y

∂E X∂EZ ∂B − =− Y ∂z ∂x ∂t

r ∂B La ley de Faraday en forma diferencial es : Rot.E = ∂t

3

Cuarta ley de Maxwell

La carga eléctrica se conserva en todos los procesos que ocurren en el universo, la cantidad de carga neta siempre permanece constante. -A veces pueden existir mas cargas salientes que entrantes, originando una disminución de la carga neta (q). -Otras veces la situación se puedeinvertir, de forma que las cargas que entran ,pueden exceder a las que salen, dando como resultado que la carga neta (q) aumenta. -Si los flujos de carga entrantes y salientes de (S) son iguales, la carga neta será constante.
El principio de conservación de la carga exige que:

flujo saliente – flujo entrante = flujo neto de carga saliente.
El flujo neto de carga saliente (miembro de la derecha dela igualdad), o sea la carga que r r sale a través de la superficie cerrada por unidad de tiempo vale: I = ò J .ds
S

La pérdida de carga por unidad de tiempo dentro de la superficie cerrada (S) vale : −

dq Þ − = dt

r r ò J .ds
S

dq =I dt

(principio de conservación de la carga)

r r dq d r r E.ds = q/ε0 , y derivando, Þ = ε 0 ò E.ds òS dt S dt r r r r d r r Þ ò J .ds + ε 0 ò...