Ecuaciones

Ecuación de Primer Grado

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuacioneslineales es:

Donde [pic] representa la pendiente y el valor de [pic] determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y).
Las ecuaciones en las que aparece el término [pic] (llamado rectangular) no son consideradas lineales.

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

Toda ecuación de primer grado con una incógnita se puede reducir a la forma:

Si la ecuación tienecomo única solución: 

Ecuación de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

Donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.

Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en [pic] es de la forma:

Con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.

La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto conlas ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.

Clasificación a ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:

1.- Completa: Tiene la forma canónica:

Donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero. Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un númeroreal doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante

Ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente. Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce más adelante.

2.- Incompleta pura: Es de la forma:

Donde los valores de a y de c son distintos de cero. Seresuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma:

Con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución demultiplicidad dos es, por supuesto, x = 0

3.- Incompleta mixta: Es de la forma:

Donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números complejos.

Solución general de la ecuación de segundo grado

La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamentedistintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
 ,

Donde el símbolo "±" indica que los dos valores son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.

Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):

Podremos saber el número y naturaleza de lassoluciones:

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);

Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).

Deducción de la...