Ecuaciones

´ M´ todo de Variacion de Par´ metros e a
´ ´ El objetivo del m´ todo de variacion de par´ metros es encontrar una funcion y = y(t) que e a ´ cumpla la ecuacion diferencial y(n) + an−1 ( t ) y(n−1) + · · · + a1 ( t ) y + a0 ( t ) y = f ( t ) , (1)

donde f (t), a0 (t), ..., an−1 (t) son funciones continuas en un intervalo de IR. ´ ´ En otras palabras, se trata de encontrar una solucionparticular de la ecuacion diferencial (1), ´ que es una ecuacion diferencial lineal de orden n, no homog´ nea. Obs´ rvese que no se supone e e que a0 , . . . , an−1 sean constantes. Ante todo hay que decir que cuando se puede usar Nota historica: El m´todo de variaci´ n ´ e o el m´ todo de los coeficientes indeterminados para ha- de par´ metros se remonta a los Prine a ´ llar una solucion particular de(1) se debe usar este cipia de Newton; despu´ s de estudiar e ´ m´ todo, siendo el m´ todo de variacion de par´ metros el movimiento de la Luna alrededor de e e a ´ la opcion m´ s costosa con diferencia. a la Tierra. El m´ todo fue usado por Jean e ´ El m´ todo de variacion de par´ metros requiere en Bernouilli en 1697 y por Euler en 1739 e a ´ primer lugar resolver la ecuacion homog´ nea asocia- altratar la ecuacion y + k2 y = f (t). e ´ da a (1); es decir ´ Laplace escribio muchos art´culos soı y(n) + an−1 y(n−1) + · · · + a1 y + a0 y = 0. Sea yh (t) = C1 y1 (t) + · · · + Cn yn (t) (3) ´ la solucion de (2), siendo C1 , . . . , Cn constantes reales. Una forma matricial de escribir (3) es   C1 yh (t) = ( y1 (t) · · · yn (t))  · · ·  . (4) Cn (2) bre este m´ todo, el cual fue desarrollaedo de forma completa por Lagrange en 1775. (Nota obtenida de El pensamiento matem´ tico de la antiguedad a nuestros a ¨ d´as. Morris Kline. Alianza Universiı dad). La forma usada aqu´ difiere de la de ı Lagrange, entre otras cosas, pues las matrices fueron desarrolladas a mediados del siglo XIX.

´ La solucion de la homog´ nea, yh , se puede escribir de forma muy compacta de la siguiente maenera: yh (t) = Y(t)C, C ∈ IRn , (5) en donde se ha definido Y(t) = ( y1 (t) · · · yn (t)). ´ ´ El m´ todo de variacion de par´ metros consiste en encontrar una funcion de la forma e a y(t) = Y(t)F(t) (7) (6)

´ que cumple la ecuacion diferencial no homog´ nea (1), donde F(t) es un vector columna de n e funciones por determinar. Obs´ rvese que (7) se obtiene tras “convertir” el vector constante C ene (5) en el campo vectorial F. De aqu´ el nombre de m´todo de variaci´ n de par´ metros. Este m´ todo ı e o a e se basa en el siguiente teorema: T EOREMA : Sea F = F(t) un vector columna formado por n funciones que cumple YF = · · · = Y(n−2) F = 0, Y(n−1) F = f , (8)

´ donde Y est´ definido en (6). Entonces la funcion YF cumple (1). a ´ Ilustremos este teorema con un ejemplo (la demostracion delteorema la haremos m´ s adea ´ lante). Precisamente resolveremos la ecuacion propuesta por Euler: y + k2 y = f (t) que corresponde al estudio de un resorte mec´ nico sin resistencia con una fuerza externa, fijando el origen a ´ para que la posicion de equilibrio sea y = 0. 1

E JEMPLO : Resu´ lvase el siguiente problema de valor inicial: e y + k2 y = f (t) y(0) = y0 y (0) = v0 ,

´ donde k esuna constante positiva y f una funcion continua en un entorno de t = 0. En primer lugar debemos resolver la homog´ nea (se puede hacer como ejercicio) y se obtiene e yh (t) = C1 cos(kt) + C2 sen(kt), C1 , C2 ∈ IR. (9)

´ En este ejemplo y siguiendo la notacion previa, definimos por (6) Y(t) = (cos(kt) sen(kt)). (10)

Obs´ rvese que a lo largo del problema se tiene n = 2. Hemos de hallar elcampo vectorial F, e teniendo este campo 2 componentes y siendo columna; es decir F(t) = F1 (t) F2 (t) , (11)

donde F1 y F2 son campos escalares que hay que hallar. Escribamos las ecuaciones correspon´ ´ dientes a (8). En primer lugar hay n = 2 ecuaciones. La ultima ecuacion de (8) est´ igualada a a f (t) y las n − 1 = 1 primeras est´ n igualadas a cero. Por tanto, a YF = 0, Usando ahora (10) y...