Ecuaciones

UNIVERSIDAD CATOLICA DE COLOMBIA


DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

Trayectorias ortogonales

Dada una ecuación de una familia de curvas uniparamétricas F(x;y;C) = 0 , decimos que una curva es una trayectoria ortogonal si forma un ángulo recto con cada una de las curvas de la familia.

Dada una familia de curvas, ¿Cómo encontrar las curvas ortogonales aella?

1. Derive la ecuación inicial de familias de curva y elimine el parámetro constante.
2. Encuentre una expresión para la pendiente de la familia de curvas.
3. Haciendo uso delhecho de que las pendientes de curvas ortogonales son recíprocas negativas, escriba la ecuación diferencial para las trayectorias ortogonales de la segunda familia.
4. Resuelva la ecuación diferencialy determine la nueva familia de trayectorias ortogonales.
5. Construya la gráfica de la primera familia de curvas para varios valores de [pic] y luego haga un esquema de varios miembros de lasegunda familia.


Para realizar las gráficas se emplea entre otros software, el Derive. Siga
las instrucciones para realizar los ejercicios planteados.


Usando el comandoVECTOR al cual se puede acceder desde la ventana de
Algebra dando clic en CALCULAR, podemos graficar en el plano xy la familia
de curvas. Las curvas que se obtienen de cada familia defunciones son de la
forma f(x,y)=k. Un camino para representar estas curvas sería ir dando valores
a k y para cada uno de ellos representar la ecuación f(x,y)=k. Utilizando la
funciónVECTOR podemos agrupar en una misma expresión las curvas de
que nosotros queramos; por ejemplo cuando k va desde 1 hasta 5. Editando


[pic]



Ejemplo:

Considere lafamilia de parábolas [pic]

Digitamos la función en la ventana de algebra en el derive



[pic]

Se digita [pic], luego se da Enter para que la función quede capturada


Luego...