Ecuaciones
Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
RESUMEN EDO’S 1.- ECUACIONES DIFERENCI ALES DE PRIMER ORDEN
1.1.- ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES
Así: (a) (b)
f ( x, y) M ( x, y)dx g ( y)
f ( x, y) N ( x, y)dx h( y)
De no cumplirse la igualdad dada en (*), la ecuación no es exacta y se busca el factor integrantedy dy g (t )dt c g (t ) h( y ) dt h( y )
1.1.1.-ECUACIONES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES
(a)
(a) Si
1 N
M N y x f ( x) entonces se tiene el
factor integrante:
u ( x, y) h( x) e
(b) Si
f ( x ) dx
dy f (ax by c) dx dx dx
dy dz ab Hacemos z ax by c
Remplazando se obtiene:
1 M N g ( y ) entonces se tiene el M y x
factor integrante:
dz a bf (z ) dx
(b)
*ecuación de variables separables
u( x, y) h( y) e
f ( y ) dy
dy y f dx x
1.3.- ECUACIONES LINEALES
Son de la forma:
dy x y y dz dx Hacemos z dx x x2
Remplazando se obtiene:
dy a(t ) y b(t ) dt
y (t ) e
*ecuación de variables separables
a (t ) dt
dz f ( z ) z dx x
e a (t ) dt b(t )dt c
*Fórmula de Leibniz
1.2.- ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Y FACTOR INTEGRANTE
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0
es exacta ssi:
1.4.- ECUACIONES QUE SE REDUCEN AL CASO LINEAL 1.4.1.- ECUACIÓN DE BERNOULLI
M N y x
dy p( x) y f ( x) y n con n 1 dx
(*)
n Multiplicando la ecuación por y y luegohaciendo el 1 n cambio z y se obtiene:
Luego, existe una función f tal que:
f ( x, y) M ( x, y ) x
f ( x, y ) N ( x, y ) y
dz (1 n) p( x) z (1 n) f ( x) *Ecuación Lineal dx
Facultad de Ingeniería Curso: Ecuaciones Diferenciales
Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
1.4.2.- ECUACIÓN DE RICCATI
1.5.3.- LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
“La velocidad con quese enfría una sustancia en el aire es proporcional a la diferencia de la temperatura de la sustancia y el aire” Se tiene :
dy p( x) y q( x) y 2 f ( x) Se requiere de solución dx particular y1 ( x) . Así, hacemos el cambio de 1 coordenadas y ( x) y1 ( x) y obtenemos una z ( x)
ecuación lineal.
Ts (t ) : Temperatura de la sustancia en el instante t Tm :
Temperatura del medio(aire)constante Luego, la ecuación diferencial que modela el fenómeno es:
1.5.- APLICACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN 1.5.1.- REACCIONES QUÍMICAS DE PRIMER ORDEN Y DESINTEGRACIÓN
Se tienen los siguientes parámetros y condiciones: x 0 : Cantidad inicial en gramos
dTs k Ts (t ) Tm dt Ts (t ) Tm Ts (0) Tm e kt
1.5.3.- PROBLEMAS DE MEZCLAS
x(t ) : Número de gramos presentesen el instante t dx : Ritmo de crecimiento de x dt dx : Ritmo de decrecimiento de x dt k : Constante de proporcionalidad
De esta forma, si k>0, la ecuación diferencial que describe el proceso químico es:
dx kx x(t ) x0 e kt dt
x(t ) : Cantidad de soluto en el estanque en el tiempo t V e : Velocidad de entrada del fluido al estanque
Denominamos semivida al tiempo requeridopara que la sustancia reduzca su masa a la mitad, el cual está dado por:
V s : Velocidad de salida del fluido del estanque
T ln( 2) k
C e : Concentración de entrada del soluto al estanque C s : Concentración de salida del soluto del estanque
1.5.2.- CRECIMIENTO DE BACTERIAS
Vo : Volumen inicial de fluido en el estanque
x 0 : Cantidad inicial de soluto en el estanque
N (t ) :Cantidad de bacterias en el instante t
dN nacimiento s muertes a(t ) N b(t ) N dt
x' (t ) Ve Ce Vs C s
Donde: C s
N (t ) N (0)e
x(t ) v(t )
; v(t ) Vo (Ve Vs ) t
( a ( t ) b ( t )) dt
Con a(t ) y b(t ) proporción de nacimientos y muertes respectivamente
Facultad de Ingeniería Curso: Ecuaciones Diferenciales Para los 2 tanques de la figura:...
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