Ecuaciones

ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

ECUACIONES

ECUACIONES
1.
1.1
1º.

ECUACIONES LINEALES
Concepto de igualdad.
Si al seleccionar dos conjuntos se encuentra que tienen los mismos elementos, estos conjuntos son iguales.

a b c

a b c

A

B

Para presentar la igualdad se utiliza el símbolo = por lo que A = B 2º. Si se tienen los sumandos S1, y S2 y al efectuar la suma de ellos seencuentra el mismo resultado, se tendrá que: S1 = S2 De lo anterior, cuando al comparar dos objetos existe una correspondencia de igualdad uno a uno, se dice que los dos objetos son idénticos, y cuando solamente después de una reducción se ve que son las mismas cantidades, entonces son equivalentes. Por lo tanto: A =B S1 = S2 Es una igualdad por identidad. Es una igualdad por equivalencia.

En laigualdad: a + b = c + d se tiene: a+b = c+d será el primer miembro de la igualdad. signo de igualdad. será el segundo miembro de la igualdad.

1.2
1º.

Propiedades de la igualdad.
Se pueden intercambiar los miembros de una igualdad sin que se altere. Si A = B entonces B = A

2º.

Si una cantidad es igual a otra y ésta a su vez es igual a una tercera, la primera es igual a la tercera.Si: A = B y B = C entonces A = C

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

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3º.

Propiedad fundamental. Una igualdad no se altera si a sus dos miembros se le suma o se le resta una misma cantidad de la misma manera, no se altera si a sus dos miembros se multiplican por o se dividen entre una mismacantidad o expresión, siempre que esta no contenga incógnitas, porque en caso contrario cambia el grado y el número de soluciones. Podemos elevar a una misma potencia los dos miembros de una igualdad o extraerles una misma raíz sin que se altere teniendo cuidado de hacerlo especialmente cuando algún radical afecte a la incógnita Sea a = b, entonces: a+m=b+m a–n=b–n a (k) = b (k)
a p a
n n

sumandouna cantidad m restando una cantidad n multiplicando por una cantidad k dividiendo entre una cantidad p elevando a una misma potencia n extrayendo una misma raíz n

=

b p

;p ≠ 0
n

=b

a

=nb

1.3

Reglas para despejar literales en una igualdad.
Si un término se encuentra sumando en un miembro este puede pasar restando al otro miembro y viceversa Es decir si: a - b + c = d, aldespejar a: a=d+b-c

Primera.

Segunda.

Si un factor se encuentra multiplicando a todo un miembro, éste pasa dividiendo al otro miembro y viceversa Sea ax = b ; despejar x; x =
b a b a

Sea Tercera.

= x : despejar b ; b = ax

Si una cantidad entera positiva está como potencia de todo el miembro, pasa como índice de raíz afectando a todos los términos del segundo miembro y viceversa.Sea. y 4 = 4px , despejando a y: y = 4 4px Sea.
3

y = x − 3 , despejando a y; y = (x − 3)

3

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

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1.4

Ecuaciones e identidades.

Las igualdades entre dos expresiones algebraicas se clasifican en: identidades y ecuaciones. Identidad. Es una igualdad que severifica para cualquier valor que se le de a las literales que entran en ella. Por ejemplo: La igualdad (a + 1) 2 = a 2 + 2a + 1 es una identidad, porque se satisface para todo valor a. Si, a = 4; tenemos:
(4 + 1) = (4) + 2(4) + 1 (5) = 16 + 8 + 1 25 = 25
2 2 2

Ecuación.

En general una ecuación es toda igualdad que contiene elementos conocidos, comúnmente llamados datos o constantes yelementos desconocidos denominados incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera para ciertos valores de las incógnitas que entran en ella. Por ejemplo: b + 2 = 5: Es una ecuación porque solo se satisface para: b = 3 La igualdad 5x + 2 = 17. es una ecuación porque se verifica con: x = 3

Clases de ecuaciones. 11 . 1 21 . 1 31 . 1 41 . 1 Una ecuación es numérica cuando no tiene más literales que...