Ecuacioon de laplace

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Cap´ ıtulo 4

Ecuaci´n de Laplace o
4.1. 4.2. Condiciones de frontera M´todo de la funci´n de Green e o
kρ(k) |x−x | dv

Si los problemas electros´ticos solo envolviesen cargas (o densidades de a carga) sin condiciones de frontera entonces φ = temente. ser´ suficienıa

Pero muchos problemas electrost´ticos envuelven regiones finitas del esa pacio, con o sin carga adentro, y con condicionesde frontera. Esas condiciones de frontera pueden ser simuladas por una apropiada distribuci´n de cargas fuera de la regi´n de inter´s, pero s´lo es util en casos o o e o ´ muy simples( Ej: m´todo de im´genes). e a Para lidiar con este problema. Suponga dos funciones escalares: ϕ ∧ ψ tal que A = ϕ ψ. Donde A es una funci´n bien comportada, definida dentro o de un volumen V y una superficie S. Adem´sA sin discontinuidades e a integrable. Usando el teorema de divergencia: · Adv =
v s

A·ds
2

·A=

(ϕ ψ) = ϕ

ψ+

ϕ·

ψ

∂ψ ∂n Primera identidad de Green . George Green (1824): A·n=ϕ ψ·n=ϕ ˆ ˆ (ϕ
V 2

ψ+

ϕ·

ψ)dV =
S

ϕ

∂ψ dS ∂n

(4.1)

Intercambiando ϕ ↔ ψ (ψ
V 2

ϕ+

ψ·

ϕ)dV =
S

ψ

∂ϕ dS ∂n

(4.2)

31

32

´ CAP´ ITULO 4. ECUACION DELAPLACE Ahora restando (3.1)-(3.2), se obtiene la segunda identidad de Green: (ϕ
V 2

ψ−ψ

2

ϕ)dV =



∂ϕ ∂ψ −ψ )dS ∂n ∂n

(4.3)

Usando la ecuaci´n de Poisson: o
2

φ=−

ρ
0 2 1 (R)

Adem´s se escoge ψ = a (3.1): (φ
V

1 |r−r |

=

11 R

y del hecho que

= −4πδ(r − r ). En

2

1 )dV = R

(−φ4πδ(r − r ) + ρ(r dV ) 0 |r − r |

ρ(r ) ) 0R

= −4πφ(r ) +

φS

∂ 1 1 ∂φ ( )− dS ∂n R R ∂n

Si r est´ dentro de V: a Φ(r) = 1 4π 0 1 ρ(r )dV + R 4π
1 4π

V

S
S

1 ∂φ ∂ 1 − φ ( ) dS R ∂n ∂n R
φ(r)(r−r ) φ(r) − |r−r |3 |r−r |

2

H h

i

·ˆ dS n

Comentarios: Que son los otros t´rminos que aparecen?. Son t´rminos introducidos por e e la libertad que hay en la ecuaci´n de Poisson. Se deben fijar usando cono diciones de frontera. Aqu´ noasumimos que ρ sea ∀ la carga del universo. ı de todas maneras esto tiene demasiada libertad. Notar qu estamos construyendo φ a partir de ρ, de su valor (de φ) en la frontera, y de sus derivadas en la frontera. No debemos fijar estas dos cantidades φ (frontera) y ∆φ (frontera), arbitrariamente y esperar una soluci´n consistente. ∀ o que podemos hacer es fijar una de ellas y pedir 2 φ = 0 Lo mejorque podems hacer es introducir una funci´n G(r, r )que tenga la o propiedad: 2 G(r, r ) = −4πδ(r − r ) Ej: G(r, r ) = 1 |r − r | + F (r − r )

1 No es bien comportada pero podemos usar l´ ımites o excluir vectr deV 2 Condiciones de frontera: Dirichlet → φ = 0sobresuperf icieS; Newman → superficie S

∂φ ∂n

= 0 sobre

´ ´ 4.2. METODO DE LA FUNCION DE GREEN

33

Tal que F 3 : 2 F (r, r )= 0 La funci´n F se encarga de manejar las condiciones o de frontera: usemos G(r, r ) por ϕ en: (φ ↔ ψ) (ϕ
V 2

ψ−ψ

2

ϕ)dV =
S



∂ψ ∂ϕ −ψ )dS ∂n ∂n

entonces: (G(r, r )
V 2

ψ−ψ

2

G(r, r ))dV =
S 2

(G(r, r ) ψ − ψ G(r, r )) · ndS ˆ

G(r, r ) ψ(r) =
V

ψ + 4πψ(r )δ(r − r ) dV = G(r, r ) ∂ψ(r ) ∂G(r, r ) − ψ(r ) dS ∂n ∂n

G(r, r )

1 ρ(r ) dV + 4π 0 4πAhora podemos tratar de especificar las condiciones de frontera, aprovechando que aun no hemos decidido que usar como funci´n de Green. o Podemos por ejemplo, pedir que: GDirichlet (r, r )|s = 0 En ese caso: ψ(r) =
V

dV GD (r, r )ρ(r ) −

1 4π

dS ψ(r )
S

∂G(r, r ) ∂n
∂G(r,r ) |S ∂n

Ahora podemos intentar hacer lo contrario, es decir tomar en la superficie. Pero 2 G(r, r ) = −4πδ(r − r). Entonces:
2

=0

G(r, r )dV =

· dS
S

G(r, r )dV = −4π ∂G(r, r ) = −4π = 0 ∂n

dS G(r, r ) · n = ˆ
S

Por lo tanto, no podemos tomar = 0, lo mas que podemos hacer es tomar: ∂GV on N ewman (r, r ) 4π =− ∂n S Se tendr´ entonces: ıa ψ(r) = = dV GN (r, r ) 1 ρ(r ) + 4π 0 4π dS GN (r, r )
S

∂G(r,r ) |s ∂n

1 ∂ψ(r ) + ∂n S

dS ψ(r )
S

dV GN (r, r )

ρ(r ) 1 + 4π 0 4π...
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