• Ecuación diferencial exacta

Ecuación diferencial
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadasparciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Por ejemplo se considera la ley, apoyada en experiencias, de que el radio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad de radio presente, hecho que se describe mediante la ecuación
 , Q la cantidad de radio es función del tiempo t; de modo que Q Q(t). 3
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluyeexpresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

es una ecuación diferencial ordinaria, donde  representa una función no especificada de la variable independiente , es decir, ,  es la derivada de con respecto a .
La expresión 
es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente tambiénse le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).



Marco teóricoLas ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

Donde M es la matriz que describela masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada conrespecto al tiempo.
La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

donde  es el tiempo y  es la coordenada del punto sobre la cuerda y  una constante que corresponde a la velocidad de propagación de dicha onda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

tipos de soluciones
Una solución de una ecuación diferencial esuna función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes.
Solución general
Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (unaconstante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de  ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particularde la ecuación completa.
1. Solución particular: Si fijando cualquier punto  por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto , que recibe el nombre de condición inicial.
Solución particular
Es un caso...