Ecucaciones En Diferencia

Introducción:
Las ecuaciones en diferencias son herramientas versátiles de análisis. Son una excelente representación de un gran número de situaciones dinámicas y su teoría asociada es suficientemente rica para suministrar elementos para su comprensión.
Múltiples problemas de significativa importancia en diversos campos del saber humano, requieren para su estudio de la elaboración de unmodelo matemático que los represente. Estos modelos están constituidos principalmente por ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias. Esto se evidencia por el hecho que dentro de las matemáticas aplicadas, las ecuaciones diferenciales juegan un papel muy importante en las disciplinas científicas. En sus inicios aparecen en problemas mecánicos y geométricos, posteriormente su campo deaplicación se va extendiendo a todas las ramas de la física y en los últimos años es común encontrarlas aplicadas a disciplinas como biología, la economía, la ingeniería, la sociología, la fisiología, . . .
De más reciente aparición son las ecuaciones en diferencias, las cuales han adquirido una importancia relevante con el creciente estudio y simulación de sistemas discretos en las diferentes disciplinasque modelan y estudian sistemas discretos como la ingeniería y la economía, dado que este tipo de modelamiento es más ajustado a la realidad.
Por otra parte es un área importante en carreras como ingenierías y economía, lo cual nos permite ver que tiene un extenso campo teórico como practico, elemental en el perfeccionamiento de dichas carreras, con lo cual podemos observar que es de graninterés el estudio de ecuaciones en diferencias.


Ecuaciones en diferencias:
Una ecuación en diferencias es una expresión que relaciona distintas sucesiones siendo una de ellas una sucesión desconocida, estas son parecidas a las ecuaciones diferenciales, solo que en vez de funciones, estas las sustituye por sucesiones.
Una ecuación en diferencias es una expresión del tipo:G(n,f(n),f(n+1),…,f(n+k))=0 para todo n contenido en Z, y donde f es una función definida en Z.
Decimos que una ecuación en diferencias de orden k es lineal si la podemos escribir de la siguiente manera: p (n) f(n+k)+p(n) f(n+k-1)+…+p(n) f(n)= g(n), donde los coeficientes p son funciones definidas en Z, también nos podemos encontrar casos más sencillos que son cuando los coeficientes son constantes y la ecuaciónviene escrita de esta manera : a f(n+k)+a f(n+k-1)+…+a f(n)= g(n), también podemos decir que una ecuación en diferencias es homogénea en el caso de g(n)=0,y también decimos que es completa en el caso contrario.
Por otra parte podemos clasificar las ecuaciones en diferencias según su orden, podemos decir que son de primer orden, segundo orden y orden superior.
Las ecuaciones en diferencia deprimer orden las definimos como:
Sean A(n), A(n) y B(n) funciones conocidas tal que A(n) nunca se anulan en el dominio de la variable n, entonces podemos decir que la expresión: A_1 (n)x_(n+1) + A_2(n)x_n = B(n) es una ecuación en diferencia de primer orden lineal. Si se da el caso particular de que B(n) es igual a cero, entonces decimos que la ecuación es homogénea, y por otra parte si A_1(n) comoA_2(n) son constantes, decimos que se llama ecuación en diferencias lineal con coeficientes contantes.
Por otra parte para sacar la forma general de estas ecuaciones en diferencias suponemos que A_1(n) es distinto de cero, entonces podemos por el ambos miembros de la ecuación quedando (A_2 (n))/(A_1 (n))=-A(n) , B(n)/(A_1 (n) )=R(n) ,y de ahí la ecuación se convierte en x_(n+1) – A(n)x_n =R(n) , siendo esta la forma general reducida de las ecuaciones en diferencias de primer orden lineales.
Una sucesión solución de una ecuación en diferencias se dice general si contiene la constante arbitraria C, para cada valor de la constante arbitraria la sucesión queda determinada de forma única, en tal caso la sucesión solución se dice que es solución particular de la ecuación en...