Sistema de ecucaciones

Apunte de Sistemas de Ecuaciones.
Sistemas de Ecuaciones
# concepto y representacion
# RESOLUCION DE SISTEMAS
# TIPOS DE SISTEMAS
# TEOREMA ROUCHE-FROBENIUS
# REGLA DE CRAMER
# SISTEMAS HOMOGENEOS
# POR DESCOMPOSICION L U
concepto y representacion
Llamaremos sistema de m ecuaciones con n incognitas a toda expresión:
a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2.......................
am1 x1 + am2 x2 +...+ am n xn = bm
Donde: | aij  K
bi  K
xi | son los coeficientes
son los términos independientes
son las incognitas |

a) Se puede representar de forma MATRICIAL:
A · X = B
Donde | A = Matriz de los coeficientes
x = Vector solución
B = Vector de Términos Independientes
A* = Resulta de añadir los términos independientes a la matriz A |b) También de forma VECTORIAL :
x1 A1 + x2 A2 + ... + xn An = B (Donde Ai son las columnas de A)
c) Como una APLICACION LINEAL
Sabiendo que toda matriz de dimensión m x n define una aplicación lineal f: Kn Km respecto de las bases canónicas de Kn y Km.
Podemos entender un sistema de m ecuaciones y n incognitas, como una aplicación lineal coeficientes de las distintas incognitas  K nSIMPLIFICACION
Si a un sistema de ecuaciones se le añade un numero finito de ecuaciones lineales que son combinaciones lineales de las dadas, el nuevo sistema es equivalente al inicial.
Del mismo modo si eliminamos una ecuacion que sea c.l. de otra se puede eliminar.
solución del sistema
Si (α 1, α 2,..., α n) satisface las m ecuaciones decimos que α es el vector solución del sistema.
Según elnumero de soluciones un sistema puede ser:
SISTEMA HOMOGENEO: | Si los términos independientes son cero |
SISTEMA INCOMPATIBLE: | Si el sistema no tiene solucion |
SISTEMA COMPATIBLE | DETERMINADO:
INDETERMINADO: | Si el sistema posee una una solucion
Si el sistema posee infinitas soluciones |
Si dos sistema tienen las mismas soluciones son EQUIVALENTES
Si Ax = b un sistema de ecuacionespodemos ver la matriz A como asociada a una aplicación lineal f.
Resolver el sistema es hallar f -1(b) = x + Ker f donde f(x) = b.

Ej.- Obtener una base del espacio vectorial solución del sistema:
x + 0.y + 0.z + 0.t = 0
x + 0y - 1z + at = 0 |  | x = 0  (x, y, z, t) = (0, y, 0, 0) |
3x + 0y - 1z + at = 0 | | t = 0 |
bx + 0y + 0z + 1t = | | z = 0 |
La solución es < (0, 1, 0, 0) >que es base del espacio vectorial formado por las soluciones.
TEOREMA ROUCHE-FROBENIUS
Dado Ax = b un sistema de m ecuaciones con n incognitas, tiene solución si:
rango A = rango A* = n° de incognitas (n) rango A = rango A* < n° de incognitas (n)rango A < rango A* | S. C. DETERMINADOS. C. INDETERMINADOS. INCOMPATIBLE |
REGLA DE CRAMER
Dado un sistema COMPATIBLE DETERMINADO, tenemosque:
Su expresion matricial es A X = B y al ser rg A = n  |A| ≠ 0 y además A tiene inversa A -1. Así pues:
A-1 · A · X = A-1 · B  I · X = A-1 · B  X = A-1 · B  X = ( 1/|A| · At)· B 
 xi = 1/|A| · (A1i b1 + A2i b2 +....+ An i bn)
De donde obtenemos la Regla de CRAMER:
det(B, C2, C3,..., Cn) |   | det(C1, B, C3,..., Cn) |   | det(C1, C2, C3,..., B) |
x1 = | , | x2 = | ,....... | xn = |det |A| |   | det |A| |   | det |A| |
Si el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO podemos resolverlo por CRAMER:
- Pasamos una de las incognitas a la matriz de los términos independientes en cada ecuacion.
- Resolvemos el sistema por CRAMER, y nos daran las soluciones en funcion de esa incognita.
- Expresamos la solución en forma de envoltura lineal.
Ej.- Resolver el sistema
x + y + z = 1 porCRAMER
x - y + 3z = 3

Cambiamos z por λ y pasamos λ a la derecha
Resolvemos el sistema por CRAMER y obtenemos:
x = -2 λ +2 de modo que la solución es {(-2 λ + 2, -1 + λ, λ) ; λ  R} {(2, -1, 0) + (-2 λ, λ, λ); λ  R}
y = -1 + λ
y por ultimo extrayendo λ tenemos que las infinitas soluciones del sistema son:
{ (2, -1, 0) + < (-2, 1, 1) > }
SISTEMAS HOMOGENEOS
Un sistema homogeneo...