Ejemplo muller

Método de Muller

Este es un método para encontrar las raíces de ecuaciones polinomiales de la forma general:
[pic]
Donde n es el orden del polinomio y las [pic] son coeficientes constantes. Continuando con los polinomios, estos cumplen con las siguientes reglas:

• Para la ecuación de orden n, hay n raíces reales o complejas. Se debe notar que esas raíces no son necesariamente distintas.• Si n es impar, hay al menos una raíz real.
• Si las raíces complejas existen, existe un par conjugado.

Antecedentes

Los polinomios tienen muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería, como es el caso de su utilización en ajuste de curvas. Sin embargo, se considera que una de las aplicaciones mas interesantes y potentes es en los sistemas dinámicos, particularmente en los lineales.

Elpolinomio mas conocido en el mundo científico, es el denominado, ecuación característica, que es de la forma:
[pic]
Donde las raíces de este polinomio satisfacen:
[pic]
También denominados eigenvalores del sistema. Los eigenvalores pueden utilizarse para analizar un sistema, para nuestro caso es muy útil en lo concerniente a la estabilidad. Con base en lo anterior, encontrar las raíces ensistemas de segundo orden es prácticamente sencillo, pero para sistemas de orden superior, puede resultar en un arduo trabajo.

El método

Un predecesor del método de Muller, es el método de la secante, el cual obtiene raíces, estimando una proyección de una línea recta en el eje x, a través de dos valores de la función (Figura 1). El método de Muller toma un punto de vista similar, pero proyecta unaparábola a través de tres puntos (Figura 2).

El método consiste en obtener los coeficientes de los tres puntos, sustituirlos en la fórmula cuadrática y obtener el punto donde la parábola intercepta el eje x. La aproximación es fácil de escribir, en forma conveniente esta sería:

[pic]

Figura 1

Figura 2
Así, se busca esta parábola para intersectar los tres puntos[x0, f(x0)], [x1, f(x1)] y [x2, f(x2)]. Los coeficientes de la ecuación anterior se evalúan al sustituir uno de esos tres puntos para dar:
[pic]
[pic]
[pic]
La última ecuación genera que,[pic], de esta forma, se puede tener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
[pic][pic]
Definiendo de esta forma:
[pic] [pic]
[pic] [pic]
Sustituyendo en el sistema:
[pic][pic]

Teniendo como resultado los coeficientes:
[pic] [pic] [pic]

Hallando la raiz, se implementar la solución convencional, pero debido al error de redondeo potencial, se usará una formulación alternativa:
[pic]despejando [pic]
La gran ventaja de este método es que se pueden localizar tanto las raíces reales como las imaginarias.
Hallando el error este será:
[pic]
Al ser un método deaproximación, este se realiza de forma secuencial e iterativamente, donde x1, x2, x3 reemplazan los puntos x0, x1, x2 llevando el error a un valor cercano a cero

Programa

Por ser un método que trabaja de forma lineal, es posible una aplicación computacional en forma sencilla, la cual sería:

SubMuller (xr, h, eps, maxit)
x2 = xr
x1 = xr + h*xr
x0 = xr – h*xr
Do
iter = iter + 1h0 = x1 + x0
h1 = x2 – x1
d0 = (f(x1)-f(x0))/h0
d1 = (f(x2)-f(x1))/h1
a = (d1 – d0)/(h1 + h0)
b = a*h1 +d1
c = f(x2)
rad = sqrt (b*b – 4*a*c)
if I b+ rad I > l b - rad l then
den = b + rad
Else
den = b – rad
End if
dxr = -2*c/denxr = x2 + dxr
Print iter, xr
IF (Idxrlmaxit) exit
x0 = x1
x1 = x2
x2 = xr
End do
End Muller

Ejemplo

[pic] h = 0,1
x2 = 5 x1 = 5,5 x0 =4,5
Con un análisis previo, las raíces son –3, -1 y 4

Solución

[pic] [pic] [pic]
Calculando
[pic] [pic]
[pic] [pic]
Hallando los coeficientes
[pic][pic] [pic]

La raíz...