Ejemplos De Probabilidad Condicional

2. Probabilidad condicionada

[...] Quiero decir, para empezar: ¿a quién le importa si saco una bola blanca o una bola negra de una urna? Y segundo: si tan preocupado estás por el color de la bola que sacas, no lo dejes en manos del azar: ¡mira en la maldita urna y saca la bola del color que quieras!
Stephanie Plum, después (suponemos) de pasar por un curso de probabilidad y estadística.
1Cuatro tipos de probabilidad
Marginal Unión Conjunta Condicional

P( X )
La probabilidad de que ocurra X

P( X  Y )
La probabilidad de que ocurra XoY

P( X  Y )
La probabilidad de que ocurra XeY

P( X| Y )
La probabilidad de que ocurra X sabiendo que ha ocurrido Y

X

X Y

X Y
Y
2

Lanzamos dos dados, uno rojo y otro blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3?

xx

P(3)  2 / 36
3

Supongamos que hemos lanzado ya el dado rojo y ha salido un 1. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que sumen 3?

x
P(de suma 3 | dado rojo 1)  1 / 6

4

sexo B.R C.C C.G H M H

edad 18 19 19

Sucesos A = ser hombre (H) B = edad 20
B Bc

A

Ac

4

2

G.P
M.P J.L L.A.

M
M H M

20
21 20 21

2

6

N.D
V.C V.F. L.L. J.N. J.P. U.P

M
HH H M M M

21
22 19 18 21 21 18

Probabilidades P(A) = 6/14 = 0.43 P(B) = 6/14 = 0.43 P(A  B) = 4/14 = 0.29 P(A B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 6/14 + 6/14 - 4/14 = 0.43+ 0.43 - 0.29 = 0.57 P(AB) = 4/6 = 0.67
5

Intuir la probabilidad condicionada
A A

B

B

P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0,10

P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0,08

¿Probabilidad de A sabiendo que hapasado B?

P(A|B)=1

P(A|B)=0,8
6

Intuir la probabilidad condicionada
A A

B
B

P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0,005

P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0,05

P(A|B)=0
7

Probabilidad condicionada
Se llama probabilidad de A condicionada a B o probabilidad de un suceso A sabiendo que se ha producido un suceso B:P( A  B) P( A | B)  P( B)
8

Probabilidad condicionada
Una vez A ha ocurrido, ya es seguro:

P( A  A) P( A) P( A | A)   1 P( A) P( A)
Cuando A y B son excluyentes, una vez ha ocurrido A, B es imposible:

P( A  B) 0 P( B | A)   0 P( A) P( A)
9

¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea un as sabiendo que es roja?
Color Palo As No-As
Rojo Negro

Total4 48 52

2 24 26

2 24 26

Total

Espacio restringido

P( As  Rojo ) 2 / 52 2 P( As | Rojo )    P( Rojo ) 26 / 52 26
¿Y la probabilidad de que una carta escogida al azar sea roja sabiendo que es un as?
10

Independencia
Los sucesos A y B serán independientes si la ocurrencia de B no influye en la probabilidad de A y al revés. Es decir, si:

P( A | B)  P( A) y P( B | A)  P(B)
Como:
P( A  B) P( A | B)   P( A  B)  P( A | B) P( B) P( B) P( A  B) P( B | A)   P( A  B)  P( B | A) P( A) P( A)

Entonces:

P( A  B)  P( A) P( B)

11

Independencia
Vamos a verificar la independencia de los dados. Sea A = dado rojo sale 1 y B = dado blanco sale 1.
1 P( A  B) 36 1 P( A | B)     P( A) 1 6 P( B) 6

Sea C = suma de los dos dados es 3. ¿Afecta A =que el dado rojo salga 1 a la probabilidad de C?
1 P(C  A) 36 1 2 P(C | A)     P(C )  1 6 P( A) 36 6

12

Independencia de m sucesos
Similarmente, m sucesos A1...., Am se llaman independientes si: P(A1  ...  Am) = P(A1) ... · P(Am) y además para cada posible subconjunto de k sucesos:
P(Aj+1  ...  Aj+k) = P(Aj+1) ... · P(Aj+k) donde j+k < m.

De modo que, p. ej. tres sucesos A,B y C son independientes si:
P(A  B) = P(A)  P(B) P(B  C) = P(B)  P(C) P(A  B) = P(A)  P(B) P(A  B  C) = P(A)  P(B)  P(C)

13

Una caja contiene 10 bolas, 3 son rojas. Escogemos dos bolas al azar. Encuentra la probabilidad de que ninguna de ellas sea roja: (a) con reemplazo y (b) sin reemplazo.

Consideremos los sucesos:
A: Primera bola no-roja B: Segunda bola no-roja

P(A)...