ejercicio de calculo

CAPITULO I. ESPACIO R
VECTORES EN EL ESPACIO
Un sistema de coordenadas tridimensionales construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).
Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, enel primer octante las tres coordenadas son positivas.


Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.


Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector  son las coordenadas del extremo menos las coordenadasdel origen.

Ejemplo
Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).




Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo suscomponentes



Ejemplo
Dados los vectores y , hallar los módulos de  y ·


Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos



Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma direccióny sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.

Suma de vectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.


Ejemplos
1. Dados = (2, 1, 3),  = (1, −1, 0),  = (1, 2, 3), hallar el vector  = 2u + 3v − w.
 = (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3)= (6, −3, 3)
2. Dados los vectores  y , hallar el módulo del vector .



Propiedades de la suma de vectores
1. Asociativa
 + ( +  ) = ( + ) + 
2. Conmutativa
 +  =  + 
3. Elemento neutro
 +  = 
4.Elemento opuesto
 + (− ) = 
Producto de un número real por un vector
El producto de un número real k   por un vector es otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismosentido que el vector  si k es positivo.
De sentido contrario del vector  si k es negativo.
De módulo 
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Propiedades del producto de un número por un vector
1. Asociativa
k · (k' ·  ) = (k · k') · 
2. Distributiva respecto a la suma de vectores
k · (  +  ) = k ·  + k · 
3. Distributiva respecto a losescalares
(k + k') ·  = k ·  + k' · 
4. Elemento neutro
1 ·  = 
Ejemplo
Dado  = (6, 2, 0) determinar  de modo que sea 3 = .

Combinación lineal
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.Esta combinación lineal es única.

Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinaciónlineal de los demás.


También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3. Dos vectores libres del plano  = (u1, u2) y  = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.



Ejemplo...