Ejercicio De Ecuaciones Diferenciales

FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

CUADERNO DE EJERCICIOS DE
ECUACIONES DIFERENCIALES

MARGARITA RAMÍREZ
GALINDO

ENRIQUE ARENAS
SÁNCHEZ

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS

PRESENTACIÓN

La Facultad de Ingeniería ha decidido realizar una serie de ediciones provisionales de
obras recientemente elaboradas por académicos de la institución,como material de apoyo
para sus clases, de manera que puedan ser aprovechadas de inmediato por alumnos y
profesores. Tal es el caso de la obra Cuaderno de ejercicios de ecuaciones diferenciales,
elaborada por los profesores Margarita Ramírez Galindo y Enrique Arenas Sánchez.
Se invita a los estudiantes y profesores a que comuniquen a los autores las observaciones y
sugerencias que mejoren elcontenido de la obra, con el fin de que se incorporen en una
futura edición definitiva.

PRÓLOGO
La presente reimpresión surge después de varios semestres de trabajar en la captura,
revisión y corrección de la obra original Cuaderno de Ejercicios de Ecuaciones
Diferenciales, en la cual se ha respetado el contenido en su totalidad. La obra fue capturada
inicialmente en el procesador de ecuacioneswordperfect ; sin embargo, este procesador
presentó inconvenientes al momento de tratar de digitalizar el contenido del Cuaderno de
Ejercicios, por lo que fue necesario capturar nuevamente para su presentación en word. Es
importante mencionar que gracias a los comentarios de profesores y estudiantes que han
empleado este material como apoyo para su Curso de Ecuaciones Diferenciales, se
detectaronerrores de captura principalmente, los cuales se han corregido bajo la
responsabilidad íntegra de la M. E. M. Margarita Ramírez Galindo, Jefa del Departamento
de Ecuaciones Diferenciales.
Se agradece de manera muy especial a la Ing. Raquel Martínez Avalos su colaboración y
esmero en la captura del contenido de esta obra.
Conscientes de la importancia de que los alumnos cuenten con el material didácticoque
complemente su clase de teoría de la asignatura, y que los profesores que la imparten
tengan un apoyo para sus clases, se ha trabajado con entusiasmo y compromiso para que
esta obra en su versión actualizada contribuya al propósito con el que originalmente fue
creada.
Cabe señalar que aunque este trabajo fue revisado minuciosamente, existe la posibilidad de
que se hayan cometido erroresinvoluntarios, por lo que se agradece de antemano a los
profesores y alumnos los comentarios que hagan sobre esta obra, lo que contribuirá a
mejorar la calidad de futuras ediciones.

M. E. M. MARGARITA RAMÍREZ GALINDO
JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

CONTENIDO

TEMA 1

ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL ……………………….………1
1.2 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓNDIFERENCIAL ……………………………..3
1.3 PROBLEMA DE VALOR INICIAL ………………………………………...…16
EJERCICIOS PROPUESTOS ………………………………………………….….18

TEMA 2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES ………..22
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES HOMOGÉNEOS …...29
2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS. FACTOR INTEGRANTE ……32
EJERCICIOS PROPUESTOS……………………………………………………...49

TEMA 3

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

3.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN ……………………….…..55
3.2 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL HOMOGÉNEA ....70
3.3 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL NO
HOMOGÉNEA …………………………………………………………………...74
EJERCICIOS PROPUESTOS …………………………………………………….110

TEMA 4

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFRENCIALES
LINEALES

4.1 CÁLCULO DE LA MATRIZ EXPONENCIAL ……………………………....115
4.2 TRANSFORMACIÓN DEUNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ORDEN n
A UN SISTEMA DE n ECUACIONES DE PRIMER ORDEN ………………121
4.3 SISTEMAS HOMOGÉNEOS DE PRIMER ORDEN …………………………125
4.4 SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS DE PRIMER ORDEN …………………….133
EJERCICIOS PROPUESTOS ……………………………………………………148

TEMA 5

TRANSFORMADA DE LAPLACE

5.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE …………………...153
5.2 LA TRANSFORMADA...