Ejercicios de ecuaciones diferenciales parciales

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Ejercicios A
1.- Una cuerda fuertemente estirada tiene sus puntos extremos en x = 0 y x = L. Si se le da un desplazamiento inicial fx=αx(L-x) desde la posición de equilibrio, donde α es una constante y luego se suelta, encuentre el desplazamiento en cualquier tiempo t > 0. Discuta los modos de vibración.
x = 0
x = L
En t = 0

R. En este problema se utiliza la Ecuación de Onda, la cual es∇2u-1v2∂2u∂t2=0
pero como se trata de un problema sólo en una dimensión, se reduce a
∂2u∂x2-1v2∂2u∂t2=0

con condiciones iniciales ux,0=0 y ∂u(x,t)∂tt=0=fx=αxL-x

y con condiciones de frontera u0,t=0 y uL,t=0.

Proponemos una solución de la forma ux,t=XxTt para poder usar la separación de variables. La derivamos y sustituimos en la ecuación de onda separando lasvariables. Evitamos arrastrar las dependencias de las variables.
∂2u(x,t)∂x2=X''xTt ∂2u(x,t)∂t2=XxT''t
X''xTt- 1v2XxT''t=0
X''X-1v2T''T=0
Ahora igualamos cada término a una constante k y resolvemos las dos ecuaciones diferenciales resultantes. Por conveniencia, haremos k=-λ2.
a) X''X=-λ2 X''+λ2X=0
Esta es la ecuación del oscilador armónico, cuyo resultado esXx=Asinλx+Bcosλx

Sometiendo el resultado a las condiciones de frontera:
1ra condición de frontera u0,t=0
X0=Asinλ(0)+Bcosλ(0)=0 B=0
Xx=Asinλx
2da condición de frontera uL,t=0
XL=AsinλL=0 λL=nπ λn=nπL
∴Xnx=AxsinnπLx
Donde los λn son los valores propios de la ecuación
y la Xn(x) final son las funciones propias.
b) -1v2T''T=-λ2 T''-λ2v2T=0
Esta ecuación tiene como resultado losiguiente:
Tt=Asinhλvt+Bcoshλvt
Sometiéndolo a la 1ra condición inicial ux,0=0,
y recordando que λn=nπL se tiene
T0=Asinhλv(0)+Bcoshλv(0)=0 B=0
∴Tnt=AtsinhnπvLt
Ahora sustituimos los resultados obtenidos en la solución ux,t=XxT(t) con la finalidad de encontrar la solución general al problema y aplicar la segunda condición inicial para hallar el valor del coeficiente γn=AxAt.unx,t=n=1∞XnxTnt=n=1∞γnsinnπLxsinhnπvLt ∀t>0
Esta es la solución general.

Ahora aplicando la condición ∂u(x,t)∂tt=0=αxL-x
∂un(x,t)∂tt=0=n=1∞γnnπvLsinnπLxcoshnπvLtt=0=αxL-x
Como el cosh 0 = 1, se tiene
n=1∞γnnπvLsinnπLx=αxL-x
Para encontrar el valor de los γn, multiplicamos toda la expresión por sinmπLx y volvemos continua la sumatoria, convirtiéndola en una integral sobre toda la cuerda, paraque al resolverla encontremos los coeficientes γn.
0LγnnπvLsinnπLxsinmπLxdx=0LαxL-xsinmπLxdx
γn=α0LxL-xsinmπLxdxnπvL0LsinnπLxsinmπLxdx=-αL3[2cosnπ+nπsinnπ-2]n3π3nπvLL2
Como ∀ n, cos nπ = (-1)2 y sin nπ = 0, simplificando:
γn=-4αL3[-1n-1]n4π4v
Esto quiere decir que la cuerda vibrará en múltiplos de γn. Ahora sólo hay que sustituir este valor en la solución general para encontrar lasolución particular del problema.
unx,t=n=1∞-4αL3[-1n-1]n4π4vsinnπLxsinhnπvLt
∴unx,t=-4αL3π4vn=1∞-[-1n-1]n4sinnπLxsinhnπvLt∎

4.- Muestre que la constante v en la ecuación de onda tiene las dimensiones de velocidad.
R. De acuerdo con el libro de ecuaciones diferenciales de Murray Spiegel, la constante v (o a según en el libro) se define como

v2=EIAρ

Donde EI es la rigidez flexural o laresistencia de un objeto a una torsión y tiene dimensiones de fuerza (N); A es el área de la sección transversal; y ρ es la densidad volumétrica. Si sustituimos estos valores por sus dimensiones en la fórmula para un análisis dimensional tendremos:

v2= EIAρ=masa*distanciatiempo2distancia2 masadistancia3=masa*distancia4masa*distancia2*tiempo2=distancia2tiempo2

∴[v]=distanciatiempo∎

Se puedeapreciar que las dimensiones de v son las dimensiones de velocidad.

5.- Suponga que la cuerda del texto se alza en el punto x = b, una distancia pequeña h desde su posición de equilibrio, y luego se suelta. Muestre que el desplazamiento resultante está dado por
ux,t=2hL2π2b(L-b)n=1∞1n2sinnπbLsinnπxLcosnπvtL

x = 0
x = L
En t = 0
x = b

R. Se resuelve de manera similar al primer...
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