Ejercicio de programación lineal

Ejercicio de Programación lineal

3.4 16
Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero.
Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen en seguida:

Comportamiento | Capacidad de peso (ton) | Capacidad de espacio (ft3) |
Delantero | 12 | 7000 |
Central | 18 | 9000 |
Trasero | 10 |5000 |

Más aun, para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad.
Se tiene ofertas para cuatro cargamentos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio:

Carga | Peso (ton) | Volumen (ft3/ton) | Ganancia ($/ ton) |
1 | 20 | 500 | 320 |
2 | 16 | 700 | 400 |
3 | 25 | 600 | 360 |
4 | 13 | 400 | 290 |Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de carga debe aceptarse (si se acepta) y como distribuirá en los compartimientos para maximizar la ganancia del
a. Formule un modelo de programación lineal
b. Resuelva el modelo por el método simplex para encontrar una de sus soluciones óptimas múltiples.

Solución.
Ahora podemosrealizar una nueva tabla resumen.

Cualquier carga puede ser repartida en los tres compartimientos.

Compartimiento | Carga 1 | Carga 2 | Carga 3 | Carga 4 | Peso (toneladas) | Espacio |
Delantero | X1 | X2 | X3 | X4 | 12 | 200 |
Central | X5 | X6 | X7 | X8 | 18 | 250 |
Trasero | X9 | X10 | X11 | X12 | 10 | 140 |
Utilidad | 320 | 400 | 360 | 290 | | |
Peso | 20 | 16 | 25 | 13 | | |volumen | 15 | 20 | 17 | 12 | | |

Solución de este ejercicio

De esta forma tenemos:
X1: toneladas de la carga 1 que irá en el compartimiento delantero
X2: toneladas de la carga 2 que irá en el compartimiento delantero
X3: toneladas de la carga 3 que irá en el compartimiento delantero
X4: toneladas de la carga 4 que irá en el compartimiento delantero
X5: toneladas de la carga 1que irá en el compartimiento central
X6: toneladas de la carga 2 que irá en el compartimiento central
X7: toneladas de la carga3 que irá en el compartimiento central
X8: toneladas de la carga 4 que irá en el compartimiento central
X9: toneladas de la carga 1que irá en el compartimiento trasero
X10: toneladas de la carga 2 que irá en el compartimiento trasero
X11: toneladas de la carga 3que irá en el compartimiento trasero
X12: toneladas de la carga 4 que irá en el compartimiento trasero

Ahora también podemos decir que la carga tiene la siguiente utilidad
X1: 320 | X2: 400 | X3: 360 | X4: 290 |
X5: 320 | X6: 400 | X7: 360 | X8: 290 |
X9: 320 | X10: 400 | X11: 360 | X12: 290 |

La función de maximización es la siguiente:
z:320 x1+400 x2+ 360 x3+ 290x4+ 320 x5+400 x6+ 360 x7+ 290x8+ 320 x9+400 x10+ 360 x11+ 290x12

RESTRICCIONES:
RESTRICCIONES DEL TAMAÑO DE LAS CARGAS:

Se tiene que lleva la mayor cantidad posible de las cargas ya que no se puede llevar toda la cantidad total que es:
20+16+25+13=74
Mientras que la capacidad total de los tres compartimientos es de 12+18+10=40
Recordemos que la carga 2 tiene un peso de 20 toneladas que puedenir repartidas en los tres compartimientos. Así es que las toneladas de Carga 1 (X1) que van en el compartimiento delantero, mas las toneladas que van en el central (X5), mas las toneladas que van en el compartimiento trasero (X9) deben sumar máximo 20 toneladas.
Así mismo cumple para las otras cargas.

Las restricciones del tamaño quedan de la siguiente forma.
x1+ x5+ x9≤20 toneladas de lacarga 1 (1)
x2+ x6+ x10 ≤16 toneladas de la carga 2 (2)
x3+ x7+ x11 ≤25 toneladas de la carga 3 (3)
x4+ x8+ x12 ≤13 toneladas de la carga 4 (4)

Restricciones de la capacidad de los compartimientos.
Restricciones de peso:

El compartimiento delantero aguanta como máximo un peso de 12 toneladas; por lo tanto, la suma de las fracciones de las cuatro cargas que...