Ejercicios 1
Páginas: 2 (486 palabras)
Publicado: 15 de marzo de 2015
1
EJERCICIOS 1.2
C´
alculo integral en una variable
1. Determine constantes c1 y c2 tales que F (x) = c1 xsenx + c2 cos x sea una primitiva de f (x) =
x cos x.
2. Halle primero f ′ y despu´es f sif ′′ (x) = cos θ, f ′
π
2
= 1, f
π
2
= 6.
Calcule las integrales indefinidas:
3.
6.
9.
12.
x2 (5 − x)4 dx
x+1
√ dx
x
x2
dx
1 + x2
4.
(1 − x)3
√
dx
x3x
√
√
1 + x2 + 1 − x2
√
dx
1 − x4
e3x + 1dx
ex + 1
7.
2x+1 − 5x−1
dx
10x
1 − sen2x dx, 0 ≤ x ≤ π
14.
sen(7x − 5) dx
sec 4x(3 sec 4x − 5 tan 4x) dx
17.
dx
3x − 7
2x + 3x
13.
√
25 sec2 (3z + 1) dz
16.
18.
dx
sen2 x
19.
21.dx
, (ab = 0)
a + bx2
22.
8.
11.
10.
15.
5.
√
3
x − 2 x2 + 1
√
dx
4
x
x2
dx
1 − x2
√
2
dx
1
θ
sec2
2
4
cos(3θ) −
√
dx
dx
4x2 + 16
20.
1 + cos2 x
dx
1 + cos 2x
23.
x2
dx
x2 − 5
Calcularlas integrales definidas:
√
24.
1
√
3
3
π
4
dx
dx
1 + x2
0
√
2
2
| cos x| dx
27.
0
28.
0
π
π
2
(x + senx) dx
0
0
x
0
1
2
33.
−π
+ cos t dt, si 0 ≤ x ≤ π
35. Muestre que
x
0
t +|t|
34.
− π4
2
dt =
√
dx
1 − x2
|senx − cos x| dx
31.
x cos x dx
26.
− π4
π
30.
2π
tan x dx
25.
dx
1 + cos x
2x2
(x + |x|) para todo x ∈ R
3
π
4
29.
(1 + tan2 x) dx
0
π
4
32.
0dx
1 + senx
2
36. Se registra la velocidad de un avi´
on durante un periodo de 1 hora a intervalos de 5 minutos.
La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos, en millas por hora:
550
575600
580
610
640
595
590
620
640
640
630
625
Utilice la regla de Simpson para estimar la distancia recorrida en esta hora.
3
37. Calcule una cota del error cometido en las aproximaciones T10 yM10 de 0 (x3 + 1)−1/2 dx. A
continuaci´
on halle un valor de N tal que el error cometido con MN sea, a lo sumo, de 10−6 .
38. Sea f (x) = sen(x2 ) y I =
1
0 f (x)dx.
(a) Pruebe que |f ′′ (x)| ≤ 6para x ∈ [0, 1].
(b) Pruebe que Error(MN ) es, a lo sumo,
1
.
4N 2
(c) Determine N tal que |I − MN | ≤ 10−3 .
39. Pruebe que si f (x) es una funci´on lineal entonces TN =
a, b.
b
a f (x)dx
para...
EJERCICIOS 1.2
C´
alculo integral en una variable
1. Determine constantes c1 y c2 tales que F (x) = c1 xsenx + c2 cos x sea una primitiva de f (x) =
x cos x.
2. Halle primero f ′ y despu´es f sif ′′ (x) = cos θ, f ′
π
2
= 1, f
π
2
= 6.
Calcule las integrales indefinidas:
3.
6.
9.
12.
x2 (5 − x)4 dx
x+1
√ dx
x
x2
dx
1 + x2
4.
(1 − x)3
√
dx
x3x
√
√
1 + x2 + 1 − x2
√
dx
1 − x4
e3x + 1dx
ex + 1
7.
2x+1 − 5x−1
dx
10x
1 − sen2x dx, 0 ≤ x ≤ π
14.
sen(7x − 5) dx
sec 4x(3 sec 4x − 5 tan 4x) dx
17.
dx
3x − 7
2x + 3x
13.
√
25 sec2 (3z + 1) dz
16.
18.
dx
sen2 x
19.
21.dx
, (ab = 0)
a + bx2
22.
8.
11.
10.
15.
5.
√
3
x − 2 x2 + 1
√
dx
4
x
x2
dx
1 − x2
√
2
dx
1
θ
sec2
2
4
cos(3θ) −
√
dx
dx
4x2 + 16
20.
1 + cos2 x
dx
1 + cos 2x
23.
x2
dx
x2 − 5
Calcularlas integrales definidas:
√
24.
1
√
3
3
π
4
dx
dx
1 + x2
0
√
2
2
| cos x| dx
27.
0
28.
0
π
π
2
(x + senx) dx
0
0
x
0
1
2
33.
−π
+ cos t dt, si 0 ≤ x ≤ π
35. Muestre que
x
0
t +|t|
34.
− π4
2
dt =
√
dx
1 − x2
|senx − cos x| dx
31.
x cos x dx
26.
− π4
π
30.
2π
tan x dx
25.
dx
1 + cos x
2x2
(x + |x|) para todo x ∈ R
3
π
4
29.
(1 + tan2 x) dx
0
π
4
32.
0dx
1 + senx
2
36. Se registra la velocidad de un avi´
on durante un periodo de 1 hora a intervalos de 5 minutos.
La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos, en millas por hora:
550
575600
580
610
640
595
590
620
640
640
630
625
Utilice la regla de Simpson para estimar la distancia recorrida en esta hora.
3
37. Calcule una cota del error cometido en las aproximaciones T10 yM10 de 0 (x3 + 1)−1/2 dx. A
continuaci´
on halle un valor de N tal que el error cometido con MN sea, a lo sumo, de 10−6 .
38. Sea f (x) = sen(x2 ) y I =
1
0 f (x)dx.
(a) Pruebe que |f ′′ (x)| ≤ 6para x ∈ [0, 1].
(b) Pruebe que Error(MN ) es, a lo sumo,
1
.
4N 2
(c) Determine N tal que |I − MN | ≤ 10−3 .
39. Pruebe que si f (x) es una funci´on lineal entonces TN =
a, b.
b
a f (x)dx
para...
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