ejercicios análisis pau

ANÁLISIS - PAU

1. a) enuncia el teorema de Bolzano. ¿Tiene la ecuación x 3  2x  2  0 alguna solución
en el intervalo (0,1)? ¿Tiene esta ecuación más de una solución real?

ax 2  bx  x  e2 x
b) Calcula los valores de a y b para que lim
 1 (J2013)
x 0
sen(x2 )
2. a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los intervalos de concavidad
y convexidad de la función f(x)  x 3  4 x 2  4 x .
b) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de f (x)  x 3  4 x 2  4 x y
la bisectriz del primer cuadrante. (Nota: para el dibujo de la gráfica de f(x), es
suficiente utilizar el apartado anterior y calcular los puntos de corte con los ejes).
(J2013)
3. En una circunferencia de centro O y radio 10cm. se traza un
diámetro AB y una cuerda CDperpendicular a ese diámetro. ¿A qué
distancia del centro O de la circunferencia debe estar la cuerda CD,
para que la diferencia entre las áreas de los triángulos ADC y BCD
sea máxima? (J2013)
4. a) Enuncia el teorema de Rolle. Determinar el valor de a para que sea aplicable el
teorema de Rolle a la función f (x)  x 3  ax  1 , en el intervalo [0,1]. Para ese valor
de a, calcula un punto c(0,1) en el que la recta tangente a la gráfica f(x) sea
paralela al eje OX.
b) Calcula

x3  3
 x 2  x dx (J2013)
e2 x  1
x  xe x

5. a) Calcula lim

b) Si f(x) es una función continua en el intervalo [1,4] tal que



4

1

f (x)dx  4 , ¿cuál es el valor de



4

2



2

1

f (x)dx  2

y

5 f (x)dx ? Enuncia las propiedades de la integral

definidaque utilices. (S2013)
6. Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola

f (x)  x2  9x , y las rectas y  20; x  y  15  0 . (Nota: para el dibujo de la gráfica
de la parábola, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y la
concavidad o convexidad). (S2013)
7. Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento ydecrecimiento y los
máximos y mínimos de f (x) 

2x  1
ex

2

. (S2013)

8. a) Define primitiva de una función y enuncia la regla de Barrow.
b) Calcula



3

2

x3  2
dx . (S2013)
x2  1

9. a) Enuncia el teorema de Bolzano. Probar que la función f (x)  x 3  2x  4 corta al eje
OX en algún punto del intervalo [1,2]. ¿Puede cortarlo en algún punto más?

 x 2 
b)Calcula lim  2

x 0 x  x  2



1

x2

. (J2012)

10. Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y  3x  x 2 y su recta
normal en el punto (3,0). (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de
corte con los ejes, el vértice de la parábola y la concavidad o convexidad). (J2012)
11. Determinar los valores de a para que la función f : 

a  x 2
f (x)   2

 ax

si x  1
si x  1

sea continua. ¿Es derivable en x=1 para algún valor de a?
b) Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo
diferencial. (J2012)
12. Calcula



3

2

5x 3  3x  1
dx . (J2012)
x3  x

13. a) Calcula las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

 x  1
f ( x) 

2

x2  1b) Calcula

e

 x  1

1

x2  1



2

dx . (S2012)

14. a) De una función derivable f(x) sabemos que pasa por el punto (0,1) y que su derivada
es f '(x)  xe2 x . Calcula f(x) y la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto
correspondiente a x=0.
b) Enuncia el teorema fundamental del cálculo integral. (S2012)
15. a) Enunciado e interpretación geométrica del teorema deRolle.
b) Si c>2, calcula los valores de a, b, c para

 x 2  ax  b si x  2
f ( x)  
si x  2
 x 1

que

la

función

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el

intervalo [0,c]. (S2012)
16. Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y   x2  2x  3 , la recta
tangente en el punto donde la parábola tiene un extremo y la tangente a la parábola...