Ejercicios Calculo

1-Una función es continua en un punto siempre y cuando exista límite en él y coincida con el valor que toma la función en ese punto.
La continuidad de f en x=a implica que se cumplan algunas condiciones: 
a.-Existe el límite de la función f(x) en x=a.
b.-La función está definida en x=a, es decir, existe f(a).
c.- Los dos valores anteriores coinciden. 
Ejemplos:
f : R - {-2}   R
g :R   R
                 x    
       x   






2-Una función f es continua en un INTERVALO ABIERTO si y sólo si, f es continua en TODO punto del intervalo.
Los intervalos abiertos se caracterizan porque los extremos del intervalo no pertenecen al intervalo. Es decir, el (0,2) son los números entre 0 y 2 ambos excluidos. Aquí, entonces, no tienes problema paraacercarte a cualquier número de dicho intervalo "por exceso" y "por defecto" (es decir, por la derecha y por la izquierda.
Ejemplo. Analice la continuidad de la función h(x) = en el intervalo (–1, 1).
Por ser una función racional, la función es continua en cada número real excepto los que anulan el denominador, x = 1 y x = -1. Como esos valores no pertenecen al intervalo, la función es continua en elintervalo (–1,1).
Ejemplo. Analice la continuidad de la función h(x) = en el intervalo (–2, 2).
Los posibles puntos de discontinuidad son los que anulan el denominador, x = 1 y x = -1.
A continuación se analiza lo que sucede para cada valor:
En x = 1

En x = - 1

h(1) =  (indeterminado)
La función no está definida en este punto.
 

 h(-1) =  no existe
   


Por lo tanto, la funciónes continua en (-2, -1) È (-1, 1) È (1, 2).
3- se dice que una función es continua en todas partes cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz, cuando en su grafica no se presentan saltos.

4-Mostrar gráficamente las tres condiciones para que la grafica de f no sea continua en x=c :

  
5- se dice que una función f(x) es discontinua en c cuandose cumplen las siguientes condiciones:
Primera condición: La función no está definida en x=c. Existe un hueco en la grafica de f(x). Sin embargo, es continua en los demás puntos del intervalo (a,b)

Segunda condición: Lim f(x) cuando x tiende a c, no existe cuando x=c. Sin embargo, es continua en los demás puntos del intervalo (a,b).
Tercera condición: Lim f(x) cuando x tiende a c diferentede f(c) cuando x=c. Sin embargo, es continua en los demás puntos del intervalo (a,b)


6- Discontinuidades. Tipos:

Cuando una función no es continua en un punto x0 decimos que tiene o que presenta una discontinuidad en ese punto.


Teniendo en cuenta que una función es continua en un punto x = a si, y solo si, , en caso de que esta condición no se cumpla por algún motivo, tendremos unode los siguientes tipos de discontinuidades.



En las discontinuidades evitables va a existir el límite pero en las inevitables, no.

Discontinuidad evitable.

Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x0 cuando:

pero o bien no coincide con f(x0) o bien no existe f(x0).






Este tipo de discontinuidad se llama evitable porque se resolvería o evitaríadefiniendo una nueva función a partir de la que tenemos, de la siguiente manera:


Es decir, definimos la nueva función igual que la función que tenemos en todos los puntos donde no hay problema y en el punto donde presenta la discontinuidad le asignamos el valor del límite.



Ejemplo:
1* Explica como harías para que la siguiente función sea continua: en el punto x = 3.

Si observamosla función, resulta que no está definida en el punto x = 3 pero, si calculamos el límite de la función en ese punto, obtenemos:


Que sería el verdadero valor de la función en ese punto. La nueva función

Sería continua en el punto x = 3.

Discontinuidad de salto finito.

Cuando, no existepero si existen los límites laterales, que son finitos aunque distintos.

En este caso, puede...