Ejercicios con matrices

GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA
PRIMERA PARTE

VECTORES EN [pic]

[pic]

[pic]

Es decir [pic]es el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas de números reales escritas como vector renglón o vector columna.

Cada [pic] se conoce como la i-esima componente

SUMA EN [pic]

Sean [pic] y [pic] vectores en [pic].

Entonces:
[pic]

MULTIPLICACION POR UNESCALAR EN [pic]

Sea [pic] Y sea [pic] un escalar.

Entonces: [pic]

Nota:
[pic] con las operaciones suma y multiplicación por un escalar constituye un espacio vectorial.

Definición:
Un vector [pic] en una combinación lineal de los vectores [pic] si existen escalares [pic] tales que
[pic]

Los escalares [pic] son llamados los coeficientes de la combinaciónlineal.

PRODUCTO PUNTO

Una herramienta geométrica que será utilizada para resolver una amplia variedad de problemas es el producto punto ó también llamado producto escalar de dos vectores.

Sean [pic] y [pic] vectores en [pic].

Entonces el producto punto [pic]de [pic] y [pic] está definido por
[pic]

“ [pic] es la suma de los productos de las componentes correspondientes de[pic] y [pic]”

Notas:
Para calcular el producto punto:
- [pic] y [pic] debe tener el mismo número de componentes.
- El producto punto [pic] es un número, no otro vector.

Teorema (Propiedades del producto punto)
Sean [pic], [pic] y [pic] vectores en [pic] y sea [pic] un escalar. Entonces:

a) [pic]

b) [pic]

c) [pic]

d) [pic] y [pic] si y solo si[pic]

Nota:
La propiedad b) tiene un análogo “a la derecha”
[pic]

Vectores ortogonales:
El concepto de perpendicularidad e s fundamental para la geometría. Esta idea de perpendicularidad es posible generalizarla a los vectores en [pic], donde se le conoce como ortogonalidad.

Definición:
Dos vectores [pic] y [pic] en [pic] son ortogonales entre sí, si [pic]

Nota:
Puesto que[pic] para todo [pic], el vector cero es ortogonal a todo vector.

VECTORES EN [pic]

Definición:
Una matriz de orden [pic] es un arreglo rectangular de números (también llamados entradas o elementos) tal que posea m renglones y n columnas.

Ejemplo:

[pic] Es una matriz de orden 2x3.

[pic] Es una matriz de orden 3x1.

[pic] Es una matriz de orden 1x5.

[pic] Es una matriz deorden 3x3 o simplemente de orden 3.

Notación general:
Usaremos natación de subíndice doble para hacer referencia a la entrada de una matriz A ubicada en el renglón i y en la columna j y se denota [pic]
De este modo, la notación general de A de orden mxn tiene la forma:

[pic] [pic]

TIPOS DE MATRICES

Matriz fila ó matriz renglón: Matriz de orden 1x n

Matriz columna ó vector columna: Matriz de orden m x 1

Matriz nula ó matriz cero: Matriz formada completamente de ceros. Se denota: [pic]

Matriz cuadrada: Matriz de orden n x n, es decir, el número de renglones es el mismo que el de columnas.

Entradas diagonales de una matriz: Son [pic], [pic], [pic], [pic]…

Matriz diagonal: Matriz cuadrada cuyas entradas no diagonales seantodas cero. Se denota [pic]

Matriz escalar: Matriz diagonal en la cual todas sus entradas diagonales son las mismas.

Matriz identidad: Matriz escalar cuyo escalar de la diagonal es 1. Se denota [pic]

Matriz triangular superior: Matriz cuadrada cuyas entradas por debajo de la diagonal son ceros.

Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada cuyas entradas por encima de la diagonal sonceros.

Nota:
La matriz diagonal es triangular superior e inferior a la vez.

OPERACIONES ENTRE MATRICES

Igualdad entre matrices:
Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y sus entradas correspondientes son iguales. De este modo, si [pic] y [pic] entonces
[pic] si y solo si [pic], [pic] y además [pic] para toda [pic] y [pic].

Suma entre matrices:
Definimos la...