Ejercicios De Calculo

Departamento de Matemática Aplicada
Cálculo II (0252)
Semana 03: Del 25 al 29 de Abril de 2011
Profesor: José Luis Quintero

FACULTAD DE INGENIERÍA

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

Integral Indefinida o Antiderivada
1.

Compruebe los siguientes resultados aplicando las
propiedades de la integral y/o ciertos cálculos
algebraicos:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.

∫
∫
∫
∫
∫x(x + a)(x + b)dx =

x4 (a + b)x3 abx2
+
+
+C
4
3
2

( x + 1)(x − x + 1)dx =

2

2x

x

5

+x+C

4x7 /4
dx =
+C
43
7
x

xx

(x2 + 1)(x2 − 2)
3

x

2

(xm − xn )2
x

x4 + 2x

dx =

dx =

3x4 3 x 3x2 3 x
−
− 63 x + C
13
7

2x2m x
4xm+n x
2x2n x
−
+
+C
4m + 1 2m + 2n + 1
4n + 1

x3
− x + ln(x2 + 1) + arctg(x) + C
3

dx =

2

x +1x3 − 3x2 + 3x − 1
(x − 1)3
dx =
+C
x −1
3

a2x + ax

dx =

x +1

a

Halle una función G cuya tangente tenga como
pendiente 2x para cada x, y que su gráfico pase por el
punto (1, −1) .

3.

Compruebe los siguientes resultados
cambio de variable necesario:
1
1
 3x 
3.1.
dx = arcsen 
+C
3
2
4 − 9x2

3.2.

∫
1.7.
∫
1.8.
∫
1.9.
∫
1.10.
∫
2x + 1
1.11.∫ x + x dx = ln x + x + C
e − e sen(x)
1.12.
∫ e dx = e + cos(x) + C
6
1.13. 2 x dx = x
+C
∫
5
2
x

1.14.  x
∫  + x  dx = n + 2ln x + C (n ≠ 0)
x
3
1.15.
∫ 4x dx = 4 x + C
e
1.16.
∫ 1 + x dx = e arctg(x) + C
x
1.17.
∫ x + x dx = arctg(x) + C
a + a sec (x)
a
1.18.
dx =
+ tg(x) + C
∫a
ln(a)
1.19. tg (x)dx = tg(x) − x + C
∫
x
1.20.
∫ x − x dx = arcsen(x) + C (x> 0)

1.6.

2.

1 ax
1
.
+ x+C
a ln(a) a

3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.

3

x
3
63
3
+ 2 x2  dx = − − 2 x + x x2 + C
 2−
x

x
x
5



3.8.

2x ln(2)

3.9.

x

2 +1

dx = ln(2x + 1) + C
2

2

2x

x

x

x

3

2

53

n

n−1

3

13

a

a

2

3

2x

x

2

x

x

2

2

José Luis Quintero

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫

∫

∫
3.11.
∫
3.12.
∫
3.13.
∫
3.14.
∫
3.15.
∫
3.16.
∫
3.17.
∫
3.18.
∫
3.10.

x2

2
1 + x3 + C
3

dx =

1 + x3

( x + 2)2
3x

dx =

3

2
( x + 2)3 + C
9

3

3ex x2dx = ex + C
dx
= ln ln(x) + C
x ln(x)
(ln(x))5
(ln(x))6
dx =
+C
x
6
tg3 (x) sec2 (x)dx =
x
1 + x4

dx =

x2
(3x + 4)2

14
tg (x) + C
4

1
arctg(x2 ) + C
2

dx =1
16 
3x + 4 − 8ln 3x + 4 −
+C
27 
3x + 4 


(x + 2)10 (x − 1)dx =
10−2x dx = −
e2x
(1 + e2x )2
1
x2 + 11

(x + 2)12
3
−
(x + 2)11 + C
12
11

10−2x
+C
2ln(10)

dx = −

dx =

1
2(1 + e2x )

1
11

+C

x
arctg 
+C
 11 

sen( x)
dx = −2 cos( x) + C
x
e1 x
x2

dx = −e1 x + C

1
dx = ln 1 + ln(x) + C
x(1 + ln(x))
4sen(x)cos(x)
cos2 (x)− sen2 (x)
2x
(x2 + 5)ln(x2 + 5)

4

correo electrónico: quintero-jl@hotmail.com

usando

página web: www.joseluisquintero.com

dx = − ln cos(2x) + C
dx = ln(ln(x2 + 5)) + C

el

2

Cálculo II (0252) / Abril 2011

∫
3.20.
∫
∫
∫
∫
3.19.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

dx = −

x

1
1
+C
2 2x2 − 3
a2 + b2x2

dx =

a2 + b2x2

b2

4.16.
4.17.

+ C(b ≠ 0)

(ax + b)n+1
(ax + b) dx =
+C
a(n + 1)
n

∫

∫
4.19.
∫

(a ≠ 0) (n ≠ −1)

cos(x)
1
dx = ln 1 + 2sen(x) + C
1 + 2sen(x)
2

x

arcsen(x)
1 − x2

dx =

dx

∫

5.

sen(log(x))
dx = − ln(10)cos(log(x)) + C
x

earctg(x) + x ln(1 + x2 ) + 1
1 + x2

dx = earctg(x) +

x2sen2 (x)dx =

5.1.

ln2 (1 + x2 )
+ arctg(x) + C
4

Compruebe los siguientesresultados aplicando el
método de integración por partes:

4.1.

∫

4.2.

∫

4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.

xaxdx =

eaxsen(bx)dx = −

∫
∫

4.13.
4.14.
4.15.

12
1
1
x arctg(x) − x + arctg(x) + C
2
2
2

6.1.
6.3.

7.

∫

3

3

(ln(x)) dx = x(ln(x)) − 3x(ln(x))2 + 6x ln(x) − 6x + C
1
n−2
secn−2 (x)tg(x) +
n −1
n−1

∫

8....