Ejercicios De Conicas

Capítulo 1

CÓNICAS

1.1 INTRODUCCIÓN.

Para los antiguos geómetras griegos como Euclides (300 A.C.) y Arquímides (287-212 A.C.), una sección cónica (parábola, elipse e hipérbola) era una curva en el espacio, la cual resultaba de la intersección de un plano con un cono de dos mantos o ramas, siempre y cuando el plano no pasara por el vértice del con. En caso de que lo hiciera daba lugar alas llamadas cónicas degeneradas (un punto (el vértice del cono), una recta (un generatriz del cono) o un par de rectas que se intersecan (un par de generatrices)). En la figura 1 se muestran las secciones cónicas: parábola, elipse e hipérbola tal y como fueron definidas por los antiguos geómetras griegos.

Cálculo Superior. Walter Mora F., Geovanni Figueroa M. Derechos Reservados c 2009 Revistadigital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

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CÓNICAS

Los griegos en su tiempo se dedicarón con perseverancia al estudio de sus propiedades geométricas.Sin embargo, es hasta inicios del siglo XVII (1637), con el descubrimiento casi de manera independiente de la geometría analítica, por parte de Descartes y Fermat, que se toma conciencia de su utilidad y pasan aocupar un lugar de privilegio, maxime cuando Kepler descubrió (y Newton explicó) que las órbitas de los planetas y otros cuerpos en el sistema solar son secciones cónicas. La geometría analítica plana usa el álgebra y el cálculo para estudiar las propiedades de las curvas en el plano xy. Su idea fundamental es establecer una correspondencia entre una ecuación F(x, y) = 0 y su lugar geométrico. Una dela ideas centrales de la geometría analítica es que dado un lugar geométrico o una curva, sus propiedades pueden deducirse en forma algebraica o analítica a partir de su ecuación F(x, y) = 0.

1.2

PRELIMINARES

Distancia entre dos puntos Recordemos que la distancia euclidiana de un punto A = (a, b) a otro punto B = (p, q) es |AB| = d(A, B) = (a − p)2 + (b − q)2

EJEMPLO 1.1

Sean A =(1, 1) y B = (5, 3). Entonces |AB| = d(A, B) = (1 − 5)2 + (1 − 3)2 = √ 20

Completar cuadrados. En el tema de cónicas es muy útil la “completación de cuadrados” pues nos permite obtener la ecuación de una cónica dada, en una forma más adecuada para algunos cálculos. Una manera de completar cuadrados es ax2 + bx + c = a x + b 2a
2

−

b2 +c 4a

en particular

LUGARES GEOMÉTRICOS

3ax2 + bx = a x +

b 2a

2

−

b2 4a

EJEMPLO 1.2

En cada caso, completar cuadrados a.) 4x2 − 8x Solución

4x2 − 8x

= 4 x+

−8 8

2

−

(−8)2 4·4

= 4(x − 1)2 − 4

b.) y2 + 4y − 8 Solución

y2 + 4y − 8 =

y+

4 2

2

−

(4)2 −8 4·1

= (y + 2)2 − 12

1.3 LUGARES GEOMÉTRICOS

El conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano cuyas coordenadassatisfacen una propiedad, que puede estar dada por una ecuación F(x, y) = 0, se conoce como lugar geométrico.

EJEMPLO 1.3

Compruebe que el conjunto de todos los puntos P = (x, y) que equidistan de los puntos A = (1, 1) y B = (5, 3) es la mediatriz del segmento de recta que une a estos dos puntos.

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CÓNICAS

Solución El punto P = (x, y) equidista de A = (1, 1) y B = (5, 3) si y sólo sid(P, A) = d(P, B) (x − 1)2 + (y − 1)2 (x − 1)2 + (y − 1)2 = (x − 5)2 + (y − 3)2

= (x − 5)2 + (y − 3)2

x2 − 2 x + 1 + y2 − 2 y + 1 = x2 − 10 x + 25 + y2 − 6 y + 9 2x + y = 8 y = −2x + 8 (1)

Por lo tanto, el lugar geométrico es la recta y = −2x + 8 cuya pendiente es −2. La recta que pasa por lo puntos A = (1, 1) y B = (5, 3) tiene ecuación 1 x + 2 2

y=

(2)

Y

por lo que su pendientees 1 ; con lo cual 2 las dos rectas (1) y (2) son perpendiculares. Si resolvemos las ecuaciones (1) y (2) simultáneamente, determinamos que la intersección de estas rectas es, de hecho, el punto medio M = (3, 2) del segmento que une los puntos A y B. Esto se ilustra en la figura que sigue.
Figura 1.1

X

EJEMPLO 1.4

Determine el lugar geométrico de los puntos P = (x, y) cuya distancia al...