Ejercicios cónicas

CONICAS



JUAN GABRIEL BENÍTEZ R.

Las cónicas aparecen en la naturaleza y encuentran aplicaciones desde el arte hasta la ingeniería.

Ecuaciones cuadráticas
Supongamos que A , B , C , Dy E son constantes. Una ecuación de la forma

Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
puede representarse como una cónica en el plano cartesiano si puede escribirse en una de las cuatro formas posibles quevamos a ver a continuación. Para ello no deben ser cero al mismo tiempo A y B (si lo fueran acabaríamos con una recta).

1

CONICAS

Circunferencia 2 2 2
(x − h) + (y − k) = r
La gráfica de unaecuación de este tipo es la circunferencia
Ejemplo
3 La gráfica de (x + 2)2 + (y − 1)2 = 1 es

r
(h,k)
-4 -3

2

1
(-2,1)
-2 -1 1

0

1

con radio
Ejemplo

r

y centro en (h, k).
porque x + 2 = x − (−2) con lo cual -1 h = −2 , y r 2 = 1 , así que r = 1 .

La gráfica de (x − 2)2 + (y − 1)2 = 4 es

3

Ejemplo
2

2 (2,1)

La gráfica de (x + 2)2 + (y − 1)2 = 0 es tansolo el punto (−2,1) porque r 2 = 0 , es decir el radio es cero.

1

-1

0

1

2

3

4

-1

Ejemplo (x + 2)2 + (y − 1)2 = −1 no tiene gráfica
porque r 2 = −1 es imposible paracualquier valor de r (no hay radio).

ya que h = 2 , k = 1 ; y r 2 = 4 implica que r = 2 .

2

CONICAS

Elipse

(x − h)2 (y − k)2 + =1 2 2 p q
Ejemplo
La gráfica de

La gráfica de esta ecuaciónes

q
(h,k)

(x + 1)2 y 2 + = 1 es 4 9
3

p

3
-5 -4 -3

2

1

donde la altura y el ancho (medidos desde el centro (h, k) ) están dados por p y q (en la gráfica se ilustra el caso p ≥q ).

(-1,0)

-2

-1

0 -1

2

1

2

3

4

-2

-3

Ejemplo
La gráfica de

(x − 2) + (y − 1)2 = 1 es 4

2

porque x + 1 = x − (−1) y y 2 = (y − 0)2 con lo cual h = −1 , k= 0 ; p 2 = 4 y

q 2 = 9 , así que p = 2 y q = 3 .

2

1
1

(2,1)
0 1 2

2
3 4

Nótese que la raíz cuadrada del denominador de x da el ancho y la raíz cuadrada del denominador de y...