Ejercicios De Introduccion Al Calculo

INTRODUCION AL CALCULO

RELACIONES Y FUNCIONES.

I.-Concepto de relación y de función entre dos conjuntos.
Uno de los conceptos más útiles en matemáticas es el de relación y, en caso particular, el de función. Estas palabras no tienen el mismo significado en las ciencias físico-matemáticas que en la vida ordinaria, cuando decimos, por ejemplo, “la función de la escuela es educar” o bien “larelación entre dos países es satisfactoria”, etc.
Las palabras relación y función implican la idea de una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos, es decir, la formación de “parejas ordenadas de objetos” cualesquiera: personas, números, figuras geométricas, etc.
En una relación a cada elemento de un conjunto A se le puede asignar uno o más elementos del conjunto B. En una función acada elemento del conjunto A le corresponde exactamente un solo elemento del conjunto B.
Ejemplos.1. Los asientos de un teatro se localizan por una letra (fila) y un número (asiento). Así decimos: tenemos la localidad (A ,4) o la localidad (D, 10), etc. Son parejas ordenadas (primero la fila y después el número) de un conjunto de letras y un conjunto de números. Esta correspondencia se trata deuna relación porque a una misma fila le corresponden varios asientos.
2.-Si hacemos corresponder a cada número natural su doble tendremos las parejas, (1,2), (2,4), (3,6), etc. Esta correspondencia es una función porque ninguna pareja tiene igual el primer elemento.
3.-De la misma manera se dice que la longitud de una circunferencia es función del
radio, que el espacio recorrido por un móviles función del tiempo, etc.
SI A CADA ELEMENTO DE UN CONJUNTO A SE LE PUEDE HACER CORRESPONDER EXACTAMENTE OTRO ELEMENTO DE UN CONJUNTO B SE DICE QUE B ES FUNCION DE A. |
La manera de establecer la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos es arbitraria pero debe estar perfectamente definida. Se puede expresar por una ecuación o fórmula, por una gráfica, mediante una regla, etc.Los elementos de los conjuntos A y b pueden pertenecer a un mismo conjunto que en Cálculo, suele ser el conjunto de los números reales, es decir, A y B suelen ser generalmente conjuntos de números reales. Otras veces son números complejos, etc. Si los conjuntos son de elementos geométricos la palabra función se suele sustituir por “aplicación”.
II. Variable. A la totalidad de los elementos de unconjunto se le suele representar por una letra que recibe el nombre de variable.
Ejemplo l . Al conjunto formado por las diferentes longitudes de una barra sometida a diversas temperaturas se le puede representar por la letra l (inicial de longitud) y al conjunto de temperaturas por la letra t (inicial de la palabra temperatura). Las letras l y t son variables.
Ejemplo 2. Si en un sistema decoordenadas cartesianas rectangulares consideramos las coordenadas de todos los puntos, el conjunto formado por las abscisas de todos los puntos del plano, lo representamos por la letra x, y al conjunto de las ordenadas por la letra y, pues este es el convenio internacional. Las letras x, y son variables.
Una variable además de representar a la totalidad de los elementos del conjunto representa acada uno de sus elementos. Para un elemento particular se usan subíndices (ejemplos: x1, x2, etc.)
III. Dominio de una variable. Es el conjunto de valores que puede tomar.
Ejemplo l. El dominio de las variables x y y, abscisas y ordenadas, es el conjunto de los números reales.
Ejemplo 2. El dominio de la variable t (temperatura del cuerpo humano vivo) no está definido pero se puedeconsiderar de 34º a 43º ya que fuera de estos valores el hombre muere.
Ejemplo 3. El dominio de la variable t (temperatura superficial de una estrella) tampoco está bien definido, pero se puede considerar entre los 2500º y los 25 000º para el conjunto de las principales estrellas.
IV. Intervalo de variación de una variable. Es el conjunto de valores del dominio comprendidos entre dos de ellos que se...