Ejercicios de optimización e integrales

E j e rc ic i os de op t i miz a c ió n

1 Obt en e r el tri án gu l o i só s c el e s d e á r ea máxi ma i n s c ri to en u n
cí r cu l o d e r adi o 12 cm .

2 Un t ri án gu l o i s ó s c el e s d e p e rí met r o 3 0 cm , gi ra al r ed e d o r d e
su al tu r a en g en d ran do u n c on o . ¿ Qu é v al or d e b e d a rs e a l a ba s e
pa ra qu e el v ol u m en d el c ono s ea m áxi mo ?

3 S e p r et en d e f ab ri c ar u n a l ata d e c on s e r va ci l í n dri ca ( c on
tapa) d e 1 l i tro d e c apa ci dad . ¿C u ál e s d eb en s e r su s
di men si on e s p a ra q u e s e u ti l i ce el mí n i mo p o si bl e d e m e tal ?

4 D e s c omp on e r el n ú me r o 44 en d o s su m an d os t al e s qu e el
qu í n tu pl o d el cu ad r ad o del pri m e r o má s el s é xtu pl o d el
cu ad r ad o d el s e gu n do s ea u n mí n i mo.

5 S e ti en e u n al amb r e d e 1 m d e l o n gi tu d y s e d e s ea di vi di rlo
en d o s t r oz o s pa r a f o rm ar c on u n o d e el l os u n cí r cu l o y c on el
ot r o u n cu ad rad o . D et e rmi n a r l a l on gi tu d qu e s e h a d e d a r a
cad a u n o d e l o s t ro z os pa ra qu e l a su m a d e l as á r ea s d el cí r cu l o
y d el cu ad rad o s ea mí n i ma.

6 Hal l ar l a s di m en si o n e s d el ma y o r r e ct á n gu l o i n s c ri to en u n
tri án gu l o i s ós c el e s qu e ti en e p o r ba s e 10 cm y p or al tu ra 15
cm .

7 Hal l ar l a s di m en si o n e s qu e h a c en mí n imo el co st e d e u n
c on t en ed o r qu e tien e f o rm a d e pa ral el e pí ped o r e ct an gu l a r
sabi en d o qu e su vol u me n h a de s e r 9 m 3 , su al tu ra 1 m y e l
c os t e d e su c on st ru c ci ón p or m 2 es d e 5 0 € p ar a l a ba s e; 6 0
pa ra l a eta pa y 4 0 p ar a ca da pa r e d l at e r al .

8 R e c or tan d o c on v en i en te m en t e en ca da e squ i n a d e u n a l ámi n a
de ca rt ón d edi men s i on e s 80 cm x 5 0 c m u n cu ad r ad o d e l a do x
y do bl an d o c on v en i e n te m en t e (v é as e fi gu ra ), s e c on st ru y e u n a
caj a. C al cu l ar x p a r a qu e v ol u men d e di ch a caj a s ea m áxi m o .

9 Un a h oj a d e p ap el deb e t en e r 18 cm 2 d e t ex t o i mp r e s o,
má rg en e s su p e ri o r e i n f eri or d e 2 cm d e al tu ra y má r g en es
l ate ral e s d e 1 c m d e an ch u ra . O bt en e r r az on ad am en t e l as
di men si on e s q u e mi n i mi z an l a su p e r fi ci e d el pa p el .

10 El b en e fi ci o n et o men su al , en mi l l on e s d e eu r o s , d e u n a
em p r es a qu e fa bri c a au t ob u s e s vi e n e d a do p o r l a fu n ci ón :

B(x) = 1 .2 x − (0 .1 x) 3

don de x es el n ú m e r o d e au t obu s e s fa b r i cad os en u n m es .

1 Cal cu l a l a p r odu c c i ón m en su al qu e h a c en má xi mo el
ben e fi ci o .
2 El b en e fi ci o m áxi mo c o rr e sp on di en t e a di ch a pr o du c ci ón .

11 Un a h u e rta ti en e actu al men t e 25 á rb ol e s , qu e p r odu c en 600
f ru t os cad a u n o. S e cal cu l a qu e p or cad a ár bol adi ci on al
pl an tad o, l a p r od u c c i ón d e c ada ár b ol di smi n u y e en 15 f ru t o s.
Cal cu l ar :
1 La p r odu c ci ón a ct u al d e l a h u er ta .
2 La p r odu c ci ón qu e s e obt en d rí a d e c ad a á r bol si s e
pl an tan x á rb ol e s m ás .
3 La p r odu c ci ón a l a qu e a sc e n d e rí a el t otal d e l a h u er ta si
s e pl an tan x á rb ole s má s .
4 ¿ Cu ál d eb e s e r el n ú m er o t ot al d e á rb ol e s qu e d eb e t en e r
l a h u e rt a pa ra qu é l a p r odu c ci ón se a m áxi ma ?

12 Un s e ct o r ci r cu l ar ti en e u n p e rí met r o de 1 0 m. C al cu l ar El
ra di o y l a a mpl i tu d del s e ct o r d e m ay o r á r ea .

Resolver las integrales
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