Ejercicios de optimizacion

Ejercicio # 3 Una ventana normanda tiene forma de rectángulo rematado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que entre lacantidad más grande de luz.

Solución:
Sea "h" la altura y "b" la base, el radio de la parte semicircular será: 
Perímetro: 
Sustituyendo r:

Despejar para h:


El área será:

Sustituyendo hen A:

Derivando A:

Despejando b:

Una vez encontrada b podemos encontrar h:

Respuesta: Las dimensiones de la ventana serán:




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Ejercicio #4
Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que limitacon un río recto. No necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuales son las dimensiones del campo que tiene el área más grande?.
Solución Sean  y  la profundidad y el ancho del campo (en pies).Expresaremos el "Área" como 
También tenemos que darnos cuenta que la longitud de alambre que dice que tiene el granjero es de 2400 pies. Entonces tenemos que 
Ya tenemos lo que necesitamos para optimizar;la función "Objetivo" () y la restricción (). Como tenemos el área en función de dos variable utilizaremos la restricción para dejar la función objetivo en términos de una sola variable.

Entoncestenemos que  por lo tanto 
Y ya podemos derivar.
La derivada es  después encontramos los números críticos igualando  a .

lo cual da . Y como sabemos que  sustituimos  y nos da ; entonces tenemosque y = 1200.
RESPUESTA: El campo debe rectangular debe tener 600 pies de profundidad y 1200 pies de ancho.


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Ejercicio # 1
Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 mts. de ancho. El...