Ejercicios de sistemas lineales

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Considere el sistema

La función de transferencia de lazo cerrado entre C(s) y D(s) es:

Demostrar que el error en estado estacionario del sistema con una acción tipo PI es cero, a una perturbación escalón unitario.
De la figura vemos que
E(s)=R(s)-C(s)
Si R(s)=0
E(s)=C(s)
Entonces la función de transferencia del error con respecto a la perturbación es:

Si la entrada de laperturbación es un escalón unitario

El error en estado estacionario es:

Considere el sistema

Demostrar que el error en estado estacionario para una entrada rampa unitaria es,

Del diagrama de bloques vemos que la función de transferencia en lazo abierto es

Y usando la fórmula para calcular el error en estado estacionario para una entrada rampa

Otro método alternativo es
De la figura sesacan las siguientes relaciones:

Sustituyendo la ecuación 1 en la 2 queda:

Como la entrada es una señal rampa

Se cancelan la “s” del numerador con la “s” del denominador quedando

Cancelando las “s” enmarcadas obtenemos

Considere el sistema en lazo cerrado que se muestra en la figura. Determinar el rango de estabilidad para K. Suponga que K>0

La función de transferencia en lazocerrado del sistema es:

La ecuación característica de la función de transferencia

Ahora se arma el arreglo de Ruth
|
| 1 | 31 + K |
|
| 7 | 25 - 2K |
|
| | |
|
| 25 -2K | |

La condición de estabilidad es que los elementos de la primera columna sean positivos es decir mayores que cero.

Para que el sistema sea estable K debe estar en el siguiente rango de valoresUsando Simulink tenemos la respuesta para diferentes valores de K

La línea amarilla indica para un valor de K=25
La línea morada indica para un valor de K=25/2
La línea azul indica para un valor de K=10
La línea roja indica para un valor de K=1
La línea verde indica para un valor de K=-1

Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la función de transferencia enlazo cerrado:

Determinar la función de transferencia en lazo abierto G(s)
Demostrar que el error en estado estacionario en la rampa unitaria se obtiene mediante

La función de transferencia en lazo cerrado con realimentación unitaria es

Como

El diagrama de bloques del sistema es:

Sustituyendo ambas ecuaciones tenemos

Para una entrada rampa unitaria

Eliminando la “s” delnumerador con la “s” del denominador queda

Calculando el error en estado estacionario

Eliminando las “s” enmarcadas

Ahora calculamos la constante de error de velocidad

Otro método alterno para calcular tanto el error en estado estacionario y la contante de error de velocidad es:

Eliminando las “s” enmarcadas

Ahora se calcula el error en estado estacionario

Demostrar que loslugares de las raíces para un sistema de control con

Son arcos de círculo con centro en el origen y con radio igual a 10

Como primer paso graficamos para encontrar los lugares de las raíces utilizando MATLAB
>> num=[1 6 10];
>> den=[1 2 10];
>> rlocus(num,den)
>> grid

De la grafica se comprueba que son arcos los lugares de las raíces, ahora se verá si el son arcosde un círculo:
Los polos y ceros son usando MATLAB

>> num=[1 6 10];
>> den=[1 2 10];
>> [z p K]=tf2zp(num,den)

z =

-3.0000 + 1.0000i
-3.0000 - 1.0000i

p =

-1.0000 + 3.0000i
-1.0000 - 3.0000i

K =

1

Entonces mi función de transferencia de lazo abierto es:

Partiendo de la condición de ángulo tenemos

Despejando y aplicando tangente enambos lados de la ecuación

Utilizando la siguiente identidad

Si

tan[ ±180°(2K+1)]=0

Eliminando términos semejantes

Dividiendo entre dos la ultima ecuación queda

Considerando que
σ es el eje real (eje x)
ω es el eje imaginario (eje y)
Recordando la ecuación de la circunferencia con centro en el origen

Entonces se concluye

En la figura se muestra que el radio es el...
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