Ejercicios ecuaciones

Ecuaciones y Funciones Cuadráticas

5. ECUACIONES Y FUNCIONES CUADRÁTICAS
Hemos analizado hasta el momento las ecuaciones lineales y funciones lineales. Es
momento de empezar a introducirnos en las ecuaciones de grado superior. Las ecuaciones de
segundo grado merecen estudiarse aparte; es por ello que en la primera sección veremos y
resolveremos ecuaciones de segundo grado o ecuacionescuadráticas, y en la siguiente sección
abordaremos el tema desde el punto de vista funcional.
En principio resolveremos las ecuaciones de segundo grado en forma algebraica,
distinguiremos raíces y soluciones, analizaremos
el discriminante para terminar con el
procedimiento de completar cuadrados. Todo esto nos permitirá luego reconocer todos los aspectos
geométricos de la gráfica de una funcióncuadrática, y nos posibilitará resolver situaciones
problemáticas. Es así como podremos identificar el vértice, el eje de simetría y las raíces de una
parábola, y sólo viendo la función cuadrática podremos tener una idea aproximada de su gráfica.
Comenzamos con la siguiente situación:

Dido: la fundadora de Cartago.
Cuenta la historia que cuando Dido, perseguida por su cruel hermano, asentósus pies en lo
que luego sería Cartago, negoció con el rey del lugar, Iarbas, la compra del terreno necesario para
fundar una factoría. Iarbas aceptó en un precio ridículamente bajo pues el trato consistía en que
debía entregar la tierra abarcada por la piel de 3 bueyes. Cerrado el trato, la astuta Dido cortó en
finas tiras dicha piel logrando entonces abarcar mucho más de lo que Iarbas habíapensado
entregar. Además la belleza de Dido ayudó a que Iarbas se dejase engañar.
Si el trato hubiera sido que la parcela tenía que ser rectangular, ¿que rectángulo hubiese
convenido a Dido construir?

Fijemos un perímetro y empecemos a conjeturar sobre los diferentes rectángulos. Supongamos que
el perímetro es 24 y designemos con b y h las medidas de la base y la altura del rectángulo,entonces tenemos:
b

h

Per = 24

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

11
2.1 +2.11
10
2.2 +2.10
9
2.3+2.9
8
2.4+2.8
7
2.5+2.7
6
2.6+2.6
5
2.7+2.5
4
2.8+2.4
3
2.9+2.3
2
2.10+2.2
1
2.11+2.1
no tiene solución

bh
11
20
27
32
35
36
35
32
27
20
11

Observamos que en este caso, de perímetro 24, el
rectángulo de área máxima se obtiene para b = h,
es decirpara el cuadrado. Es decir que a Dido
le hubiese convenido construir un cuadrado.

En la resolución de este ejemplo hay ecuaciones de segundo grado que es lo que abordaremos a
lo largo de la unidad.
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Curso de Apoyo en Matemática

5.1. E CUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO
Comenzamos con la definición de ecuación de segundo grado.

Ecuación de
segundo grado

Másejemplos:
3 y - y2 = 0
3 x2 - 48 = 0
9 t2 - 6 t + 1 = 0

Una ecuación de segundo grado con una incógnita, es una
ecuación de la forma
ax2 + bx + c = 0,
con a, b, c ∈ R y a ≠ 0.
Son ejemplos de ecuaciones de segundo grado
x 2 + 16 = 0
x 2 - 7 x - 18 = 0
pues el mayor exponente al que aparece elevada la incógnita es
dos.

La ecuación puede ser completa :

Ejemplos:
4 x2 - 4 x + 1 = 0
x2- 6 x - 16 = 0

a x2 + b x + c = 0
con a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0.

- 3 x2 - 6 x + 12 = 0

o puede ser incompleta:
3 x - x2 = 0

•

b ≠ 0 , c = 0 del tipo

a x2 + b x = 0

3 x2 - 48 = 0

•

b = 0 , c ≠ 0 del tipo

a x2 + c = 0

4 x2 = 0

•

b = 0 , c = 0 del tipo

a x2 = 0

Toda ecuación de segundo grado con una incógnita, tiene dos raíces que denotaremos x 1 y x 2 .Soluciones
o raíces

Las soluciones o raíces x1 y x2 de una ecuación de
segundo grado de la forma a x2 + b x + c = 0 con a ≠ 0
pueden obtenerse a través de la conocida fórmula de
Bhaskara reemplazando los coeficientes a , b , c en las
siguientes expresiones:
x1 =

− b + b 2 − 4ac
,
2a

x2 =

− b − b 2 − 4ac
2a

Podemos escribir en forma abreviada:
x 1,2 =

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− b ±...