Ejercicios en polar

Ejercicios de Autoevaluación

Ejercicio 1. Calcula la forma polar y trigonométrica de z= -1+ √3 i
1º Forma Polar.
Debemos calcular el modulo y el Argumento principal.|Z|=√(〖(〖Re〗_z)〗^2+〖(〖Im〗_z)〗^2 ) luego

|Z|=√(〖(-1)〗^2+ 〖(√3)〗^2 ) = |z| = √(1+3) = |z| = √4

|z|= 2
Para el Argumento, z pertenece al 2º cuadrante.

〖Arg〗_z= arctg 〖Im〗_z/〖Re〗_z + π luego

〖Arg〗_z= arctg√3/(-1) + π = 〖Arg〗_z= arctg (-√3) + π
arctg (-√3)+ π = 120º π-π/2 = 2π/2
〖Arg〗_z= 2π/2

z = |z|.e^iθ z = 2.e^(2π/2 i) Forma Polar

2º Forma Trigonométrica.

z = |z| (cos⁡θ+ i sin⁡θ)luego

z = 2(cos⁡〖2π/2〗+ i sin⁡〖2π/2〗) Forma Trigonometrica

Ejercicio 2. Calcular ∛1 en el cuerpo de los números complejos.
Pasamos ∛1 a su forma polar.

1 = 1. e^i0 luego
z_1 = ∛1 .e^(0/3 i)

∛(1.e^iθ ) z_2 = ∛1 . e^((0/3+2π/3 )i)

z_3 = ∛1 . e^((0/3+4π/3 )i)

z_1= 1
z_2= 〖cos (〗⁡〖2π/3〗)+ i sin⁡〖(2π/3)〗
z_3= 〖cos (〗⁡〖4π/3〗)+ i sin⁡〖(4π/3)〗


Ejercicio 3. Calcula〖(1+i)〗^10.
Debido a que vamos a realizar una potencia de un Nº Complejo, lo pasamos a Polar.

|Z|=√(〖(〖Re〗_z)〗^2+〖(〖Im〗_z)〗^2 ) luego
|Z|=√(〖(1)〗^2+ 〖(1)〗^2 ) = |z| = √2

〖Arg〗_z= arctg〖Im〗_z/〖Re〗_z + π luego
〖Arg〗_z= arctg 1/1 = 〖Arg〗_z= π/4

1 + i = √2 .e^(π/4 i) luego
z = 〖(√2 .e^(π/4 i) )〗^10 = 〖(√2)〗^10 . e^(π/4 i10) = 2^5 . e^(5π/2 i) =
32 . e^(5π/2 i)Obtenemos un Argumento no principal.

5π/2 = 4π/2+ π/2=2π+π/2 〖Arg〗_z= π/2

z = 32 . e^(π/2 i) = 32i

z = 32i

Ejercicio 4. Calcula el argumento del número complejo z= 1- √3 i
Para elArgumento, z pertenece al 4º cuadrante.

〖Arg〗_z= arctg 〖Im〗_z/〖Re〗_z luego
〖Arg〗_z= arctg (-√3)/1 = 〖Arg〗_z= arctg (-√3)

〖Arg〗_z= - π/3


Ejercicio 5. Calcular:
a-) √(1- √3 i)Pasamos a su forma polar:
|Z|=√(〖(〖Re〗_z)〗^2+〖(〖Im〗_z)〗^2 ) luego
|Z|=√(〖(1)〗^2+ 〖(-√3)〗^2 ) |z| = 2

〖Arg〗_z= arctg 〖Im〗_z/〖Re〗_z luego
〖Arg〗_z= arctg (-√3)/1 =...