ejercicios mates

PROBLEMAS:

MATEMÁTICAS II
ANÁLISIS.-

RELACIÓN Nº 3.

1.

Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra la

cantidad de 5 euros. No obstante, si se le encargan más de 10 unidades, decide disminuir el precio por
unidad y por cada x unidades cobra la siguiente cantidad:
si
0  x  10
5 x

.
Se pide:
C(x)  
 ax 2  500
si
x  10

a)Hallar el valor del parámetro a para que el precio varíe de forma continua al variar el número

de unidades que se compran.
b) ¿ A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran “muchísimas” unidades?

2.

Hallar el valor del parámetro

3.

Estudia la continuidad de la función f x  

4.

Sea la función

f x  



para que

lim  2x 2  x  2 x 2  x   2



x   

x 1
x

x
. ¿Se puede asignar un valor a f 0 para que la función sea
x

continua en todo  ?

f x  

 x 2  9 x  20

5.

Estudiar la continuidad de la siguiente función:

6.

 e x  a si
x0
 2
Calcula a y b para que la función f x   ax  2 si 0  x  1 sea continua en todo 
 b
si
x 1
 2x

7.

1
x  4
si 0  x 
 4
2 ,definida en 0 , 1 , verifica f 0   0 y f 1  0 ,
La función f x   
1
 x2
e
 x 1
si
2


2 x 2  6 x  20

pero no existe ningún c  0 , 1 tal que f c   0 . ¿Contradice esto el teorema de Bolzano? Razónalo.

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PROBLEMAS:

MATEMÁTICAS II

si x  1
 Ln x  1
f(x)   2
2 x  ax  b si x  1
Encuentra los valores de a y b para que la función sea continua ysu gráfica pase por el origen de

8.

Se define la función f del siguiente modo:

coordenadas.

9.

Demuestra que la función f(x   x 2  4 x  2 corta al eje de abscisas en el intervalo 0 , 2 .

¿Se puede decir lo mismo de la función f x  

10.

Sea la función f x  

x2  4x  2
x 2  2x  1

2x  3
?
x 1

. ¿Se puede afirmar que está acotada (tiene un máximoy un mínimo) en el intervalo 1 , 4  ?

11.


Sea la función f( x   x 2  1 . Se puede afirmar que la función toma todos los valores del

intervalo 1 , 5 ?

12.

Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación

x3  x  5  0

tiene al

menos una solución x  c tal que 1  c  2

13.

Sea la función f(x   x 3  x 2  1 ¿Se puede afirmar que existe almenos un punto c en el


interior del intervalo 1 , 2 tal que f( c   0 ?
14.

Justificar que la función f(x   x 3  x  1 tiene un cero comprendido entre −1 y 0

15.

Demostrar que la ecuación e  x  2  x tiene al menos una solución real.

16.

Demostrar que existe algún número real x tal que sen x  x

17.

Probar que la función f(x   x  sen x  1 es continua paratodo  y probar que existe al

menos una raíz real de la ecuación x  sen x  1  0

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PROBLEMAS:

18.

Sean

f

y

g

MATEMÁTICAS II

dos funciones continuas en [a, b] y tales que f(a)>g(a) y f(b) 1
2
afirmaciones son ciertas, razonando la respuesta.
a) f es derivable en x  1 , pues las derivadas laterales se anulan en dicho punto.
b) f ni es continua en x  1 niderivable en dicho punto.

23. Hallar la función derivada de f x   x  3 utilizando la definición. Calcula el dominio de la
función y de su derivada.

24.

i)
ii)

Estudiar la derivabilidad en x = 0 de f(x) = x3
¿Cuántos puntos hay en la función f(x) = x2 + 6x + 8 que no tengan derivada?.

Justificar la respuesta.

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PROBLEMAS:

MATEMÁTICAS II

25. Demuestra,utilizando la definición de derivada , que la función

f x   x x  1 no es

derivable en x = 1 .

26. Dada la función f x   x  3  x halla su función derivada.




1

si x  0
1  x2
ax 2  senbx   c si x  0

Encuentra los valores de las constantes a, b y c que hacen que f sea continua y dos veces derivable.

27. Sea f x  la función dada por: f x   

3senx ...