Ejercicios resueltos de calculo diferencial

1. En el problema anterior hallar, con las dimensiones dadas, el ángulo opuesto al mayor cateto, y calcular en radianes y en grados un valor aproximado del error máximo con que se obtiene ese ángulo.
y θ= tg-1 8/6
8m θ=53.13o

x
6mdθ=1y1+x2y2dx+-xy21+x2y2dy %E=1.99x10-30.92
%E=0.21 rad
dθ=181+62820.1+-6821+62820.1

dθ=0.1251.560.1- 0.0941.560.1

dθ=8.013x10-3- 6.026x10-3

dθ=1.99x10-3

2. Un ladode un triangulo mide 2000 m, error máximo = 1m; los ángulos adyacentes miden 30o y 60o, siendo el error máximo en cada ángulo 30’. Hallar el error máximo aproximado, y el error por ciento, calcular con estas medidas a) la altura sobre el lado dado; b) el área del triangulo.

xsen60º=1000sen30º

x=2000sen60ºsen30º

x=1000sen60ºsen30º=1732.05
Datos
dx=?
y= 1000x sen∝=ysenθ
α=60º
θ=30º ∂x=sen∝senθ∂y+ycos∝ senθ∂∝+ysen∝senθtgθ∂θ
dα= 30’= 008725

∂x=sen60sen30(0.5)+1000cos60 sen30(0.008725)+1000sen60sen30tg30(0.008725)

-∂x=-1.732-8.725+26.175

∂x=16.58
%x= ∂xxx100

%x= 16.581732x100%x= 1%


3. Al medir las dimensiones de una caja se obtienen 6cm, 8cm y 12cm. Si en cada medida hay un error probable de 0.05 cm; a) ¿Cuál es, aproximadamente, el mayor error posible en el volumen calculado? b) ¿Cuál es el error porciento?
Sol. a) 10.8 cm3; b) 1.875%12 cm
V= largo. ancho. alto
6cm V= x.y.z
8cm
a)
Datos dv=∂v∂x.dx+∂v∂y.dy+∂v∂z
dx= 0.05cm
dy=0.05cm dv= yz dx + xz dy + xy dz
dz=0.05cm
x=12 cm dv=(8cm)(6cm)(0.05)+(12cm)(6cm)(0.05)+(12cm)(8cm)(0.05cm)
y= 8 cm dv= 2.4cm3 + 3.6cm3 + 4.8 cm3
z= 6cm dv=10.8cm3

b) %V= ∂vvx100
%V= 10.8cm3 8x.6.x12x100=10.8576x100=1.875%4. El peso especifico de un sólido se da por la formula S= pw en donde P es el peso en el vacío y w es el peso de un volumen igual de agua. ¿Cómo afecta al peso especifico calculado un error de 0.1 en el valor de P y = o.05 en el valor de w, suponiendo P=8 experimento a) si ambos errores son positivos; b) si un error es negativo? c) ¿cual es aproximadamente el mayor error por ciento?
Sol.a) 0.3; b) 0,5;c) 61/4%
S= pw
Datos a) ∂s=1w∂p-pw2∂w b) ∂s=1w∂p-pw2∂w p= 8
w=1 - ∂s=0.11-80.05 ∂s=0.11-8-0.05
dp =0.1
dw =0.05 ∂s=80.05-0.11 ∂s=0.5∂s=0.3

c) %S= ∂ssx100 S= pw

%S= 0.58x100 S= 81
%S= 6.25 S= 8


5. Al medir dos lados y el ángulo comprendido de un triangulo...