Ejercicios resueltos de calculo numerico

TEMA 1

Problemas resueltos de C´lculo Num´rico a e
1. Interpolaci´n y aproximaci´n o o 1. Escribir los polinomios de interpolaci´n de Lagrange y de Newton para los siguientes o datos: xi -2 0 1 f (xi ) 0 1 -1 Escribir ambos polinomios en la forma a+bx+cx2 con el fin de verificar que son id´nticos. e
´ SOLUCION: M´todo de Lagrange: e Construimos los polinomios de Lagrange,
i (x),

i = 0, 1,2.

0 (x)

= = =

1 (x)

2 (x)

(x − x1 )(x − x2 ) (x − 0)(x − 1) 1 = = x (x − 1) (x0 − x1 )(x0 − x2 ) (−2 − 0)(−2 − 1) 6 (x − x0 )(x − x2 ) (x + 2)(x − 1) 1 = = − (x + 2) (x − 1) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (0 + 2)(0 − 1) 2 (x + 2)(x − 0) 1 (x − x0 )(x − x1 ) = = (x + 2) x (x2 − x0 )(x2 − x1 ) (1 + 2)(1 − 0) 3

El polinomio de interpolaci´n viene dado por o
2

p2 (x)

=
i=0

f (xi )i (x) = f (x0 ) 0 (x) + f (x1 ) 1 (x) + f (x2 ) 2 (x) 0

1 1 1 x (x − 1) + 1 − (x + 2)(x − 1) − 1 (x + 2) x 6 2 3 1 1 7 5 = − (x + 2)(x − 1) − (x + 2)x = 1 − x − x2 2 3 6 6 = M´todo de Newton: e Escribimos el polinomio de interpolaci´n en la forma o p2 (x) = f (x0 ) + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 )

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´ ´ 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO

Calculamosla tabla de diferencias divididas xi -2 0 1 Luego, 1 5 7 5 p2 (x) = 0 + (x + 2) − (x + 2)(x − 0) = 1 − x − x2 2 6 6 6 f (xi 0 1/2 1 -2 -1 -5/6

2. Determinar un polinomio p(x) = ax6 + bx4 + cx2 + d que satisfaga los siguientes datos p(0) = 2 ,
´ SOLUCION: p(x) = a x6 + b x4 + c x2 + d p (x) = 6a x5 + 4b x3 + 2c x p (x) = 30a x4 + 12b x2 + 2c Al imponer las condiciones de interpolaci´n se tieneo p(0) = 2 ⇒ p(−1) = 8 ⇒ p (0) = 2 ⇒ p (−1) = 8 ⇒ d=2 a+b+c+d=8 2c = 2 30a + 12b + 2c = 8

p(−1) = 8 ,

p (0) = −2 ,

p (−1) = 8 .

Resolviendo el sistema anterior obtenemos 100 37 , a=− , b= 9 9 El polinomio pedido ser´ a p(x) = −

c = −1,

d = 2.

37 6 100 4 x + x − x2 + 2. 6 9

3. En estudios de polimerizaci´n inducida por radiaci´n, se emplea una fuente de rayos o o gamma paraobtener dosis medidas en radiaci´n. Sin embargo, la dosis var´ con la o ıa posici´n del aparato, seg´n los datos que se dan a continuaci´n. o u o Posici´n o Dosis (en pulgadas) (105 rads/h) 1.0 2.71 1.5 2.98 2.0 3.20 3.0 3.20 (a) ¿Cu´l es la estimaci´n para el nivel de dosis en 2.5 pulgadas? a o

´ ´ 1. INTERPOLACION Y APROXIMACION

3

(b) Si se efect´a una nueva medici´n que indica que a3.5 pulgadas el nivel de dosis u o correspondiente es de 2 98, ¿cu´l ser´ ahora la estimaci´n para el nivel de dosis en a a o 2.5 pulgadas?
´ SOLUCION: (a) Calculamos el polinomio de interpolaci´n para los datos de la tabla anterior. Utilizamos el o m´todo de Newton. e xi f (xi ) 1.0 2.71 0.54 1.5 2.98 -0.1 0.44 -0.29/3 2.0 3.20 -0.44/1.5 0 3.0 3.20 El polinomio de interpolaci´n vendr´ dado por oa 0.29 (x − 1)(x − 1.5)(x − 2). 3 Ahora podemos estimar la dosis de radiaci´n para x = 2.5 evaluando el polinomio de o interpolaci´n en ese punto. o 0.29 p3 (2.5) = 2.71 + 0.54(1.5) − 0.1(1.5)(1) − (1.5)(0.5) = 3.2975. 3 (b) Observemos que ahora disponemos de un dato m´s de interpolaci´n. Una forma de obtener a o el nuevo polinomio de interpolaci´n es a˜adir este dato a nuestra tabla dediferencias divio n didas y completarla. p3 (x) = 2.71 + 0.54(x − 1) − 0.1(x − 1)(x − 1.5) − xi 1.0 1.5 2.0 3.0 3.5 p4 (x) f (xi ) 2.71 0.54 2.98 0.44 3.20 0 3.20 -0.44 2.98 = El nuevo polinomio de interpolaci´n ser´ o a 2.71 + 0.54(x − 1) − 0.1(x − 1)(x − 1.5) − 0.29 (x − 1)(x − 1.5)(x − 2) + 3 0.29 (x − 1)(x − 1.5)(x − 2)(x − 3). 7.5 La estimaci´n del nivel de radiaci´n para x = 2.5 ser´ ahora o o a 0.29p4 (2.5) = 3.2975 + (1.5)(0.5)(−0.5) = 3.283 7.5 -0.44/1.5 -0.44/1.5 0 -0.1 -0.29/3 0.29/7.5

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´ ´ 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO

4. Para los valores siguientes E 40 60 80 100 120 P 0.63 1.36 2.18 3.00 3.93 donde E son los voltios y P los kilovatios en una curva de p´rdida en el n´cleo para un e u motor el´ctrico. e (a) Elaborar una tabla de diferencias divididas (b)...