ejercicios resueltos de combinatoria

Ejercicios Resueltos Combinatoria
1. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios
disponibles?
Nótese que importa el orden en que se sienten las personas, ya que los cuatro sitios son
diferentes, y que una persona no puede ocupar más de un sitio a la vez. Por lo tanto, hay

V10,4 =

10 !
10 !
=
= 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 5040 maneras.
10 − 4 ) ! 6!
(

2. Enuna clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuántos modos
puede hacerse si:
1. los premios son diferentes.
2. los premios son iguales.
Hay dos supuestos posibles: Si una misma persona no puede recibir más de un premio:
•

Suponemos que NO puede recibir más de un premio, luego los alumnos NO se pueden
repetir:

Caso1: Los premios son diferentes (no es lo mismo ganarel primer premio que el segundo)
importa el orden, hay

V10,3 =

10 !
10 !
=
= 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 maneras de distribuir los premios si estos son diferentes;
(10 − 3) ! 7 !

Caso2: Los premios son iguales, no importa el orden, son indistinguibles, pueden distribuirse de

C10,3 =

•

10 !
10 !
10 ⋅ 9 ⋅ 8
=
=
= 120 maneras de distribuir los premios si estos son iguales.
(10 − 3)!⋅ 3! 7 !⋅ 3! 3 ⋅ 2 ⋅ 1

Si un mismo alumno puede recibir mas de un premio luego los alumnos se pueden repetir:

Caso1: Los premios son diferentes (no es lo mismo ganar el primer premio que el segundo)
importa el orden, hay

VR10,3 = 103 = 1000 maneras de distribuir los premios si estos son diferentes;

1

Caso2: Los premios son iguales, no importa el orden, son indistinguibles, puedendistribuirse de

CR10,3 = C10 +3−1,3 = C12,3

12!
12!
12 ⋅ 11 ⋅ 10
=
=
= 220 maneras de distribuir los premios si
(12 − 3) !⋅ 3! 9!⋅ 3! 3 ⋅ 2 ⋅ 1

estos son iguales.

3. Las diagonales de un polígono se obtienen uniendo pares de vértices no adyacentes.
1. Obtener el número de diagonales del cuadrado y el hexágono.

Comenzamos calculando el número de diagonales del cuadrado.Unimos dos puntos no
adyacentes (tenemos cuatro vértices) pero solo habrá una recta que pase por los dos, no
importa el orden, hay

C4,2 =

4!
4!
4 ⋅3⋅2
=
=
= 6 uniones posibles
( 4 − 2) !⋅ 2! 2!⋅ 2 ! 2 ⋅ 2

De las 6 uniones posibles de dos vértices diferentes cualesquiera, adyacentes o no. Si de
estas 6 parejas eliminamos las que corresponden a vértices adyacentes (tantas como el númerode lados del cuadrado), quedaran Diagonales = 6 − 4 = 2 diagonales.

Procedemos del mismo modo con el hexágono, se obtienen

C6,2 =

6!
6!
6⋅5
=
=
= 15
( 6 − 2) !⋅ 2! 4 !⋅ 2! 2

De las 15 uniones posibles de dos vértices diferentes cualesquiera, adyacentes o no. Si de
estas 15 parejas eliminamos las que corresponden a vértices adyacentes (tantas como el
número de lados delcuadrado), quedaran Diagonales = 15 − 6 = 9 diagonales.

4. Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen
los lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

Ya que la fila es de 9 individuos en total, hay 4 posiciones pares (que deben ser ocupadas por
las 4 mujeres) y 5 posiciones impares (para los 5 hombres).

2

Por lo tanto, pueden colocarse de:P4 = 4 ! = 24
P = 5! = 120
5

mujeres (número de posibles colocaciones) 

 ⇒ Total = 24 ⋅ 120 = 2880 maneras
hombre (número de posibles colocaciones) 


5. ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 1,2,. . . ,9
1. Permitiendo repeticiones;
2. Sin repeticiones;
3. Si el último dígito ha de ser 1 y no se permiten repeticiones.

1. Permiten repeticiones, eimporta el orden (son números no es lo mismo el número 1224 que
el 2214)
VR9,4 = 94 = 6561 números posibles.

2. No se permiten repeticiones, e importa el orden igual que en el apartado. Por tanto, se
pueden formar:

V9,4 =

9!
9!
=
= 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024 números.
9 − 4) ! 5 !
(

3. Fijamos el último dígito (El número 1 está en la última posición) y, como no puede haber
repeticiones...