Ejercicios Resueltos De Limite Y Continuidad

Solucionario

8

Límites y continuidad
ACTIVIDADES INICIALES

8.I.

Simplifica las expresiones siguientes.
x2
7x
12
a) ——
x2
9

x3
x
c) ——
2
x
6x
5

x3
8
b) ——
x2
4

(x
2)(x
3)(2x
1)
d) ———
x2
4

a)
b)
c)
d)

8.II.

x2

7x

12

x2
x3
x2

(x
x

9
(x

x3
6x

(x

x
x

2x
4)
2)(x2
2)(x
2)

2)(x
x2

4
3

x2
x(x
x

xx2

4)
3)

x(x
(x

(x

8
4

3)(x
3)(x

5

1)(x
1)(x

3)(2x
4

1)

1)
5)
(x

2x
x

4
2

1)
5

2)(x
3)(2x
(x
2)(x
2)

1)

(x

3)(2x
x
2

1)

Racionaliza y simplifica:
x
1
a) ——
x
1
x

a)

1
x

b)

4x (x
1)
b) ——
x2
x
x

1

4x(x
x

1)

2

x

2

x

x

x

1

x

1

4x(x

x

c)

1
x

1

x2x

2

x

x

2x

1)

x

1) x2
x(x
1)

x

x2

x

x
x2

4

1)( x
x
1
4x(x

x

2

2

2x

(x

x2

1)

2

x
2
c) ———
x2
2x
4
x

4
4

x

x

2x

1

4 x2
4

x

x

2

8.III. Factoriza los siguientes polinomios.
x3

a) P(x)

2x2

4

3

b) Q(x)

x

5x

a) P(x)

(x

1)(x

b) Q(x)

x(x

1)(x

x

2
23x

1)(x

9x
2)

3)2

EJERCICIOS PROPUESTOS
8.1. Calcula, operando en las expresiones originales y formando una tabla de valores, los siguientes límites.
x3
5x2
x
a) lim ——
x→0
x

x
1
c) lim ——
x→1
x
1

e) lim (x

x2
1
d) lim ——
x→0 x
1

x2
3x
2
f) lim ——
x→2
x
2

a) 1

c) 2

e) 1

b) 2

d) 1

f) 1

b) lim
x→9

3

x

1

42

x→2Solucionario

1)x

2

8.2. Calcula, si existen, los siguientes límites.
a) lim f (x) para f (x)

⏐x⏐
——
x

b) lim f (x) para f (x)

x2
3x

1 si x
1 si x

2
2

c) lim f (x) para f (x)

x2
3x

2 si x
1 si x

0
0

x→0

x→2

x→0

a) No existe lim f (x). Aunque sí los límites laterales lim f (x)
x→0

b) lim f (x)
x→2

1 y lim f (x)

x→0

5

c) Noexiste lim f (x). Aunque sí los límites laterales y lim f (x)
x→0

2 y lim f (x)

x→0

8.3. Sabiendo que lim f (x)
x→a
ciones.
a) 2f

1

x→0

0, calcula los siguientes límites cuando x → a de las siguientes fun-

3 y lim g(x)
x→a

3g

1

x→0

g)2

d) (f

g) f g

b) (3f )2

e) (f

g
c) ——
f

f
f) ——
g
1

i) g1

6

d) 0

g) 1

b) 81

e) 9

h) 1c) 0

f)

a)

g)2

3

x→a

f

i) 0

8.4. Se sabe que las funciones f y g tienen límite en el punto x
afirmaciones son ciertas o falsas.
a) lim f (x)

g)f

h) (1

a. Además lim (f (x)g(x))

1. Di si las siguientes

x→a

0

b) Si lim g(x)
x→a

2 ⇒ lim (f (x))g(x)
x→1

4.

f(x)
c) lim —— es un cuadrado perfecto.
x→a
g(x)
a) Falsa, sería imposible que elproducto valiera

1.

b) Verdadera, porque entonces el límite de f valdría
c) Verdadera, porque como lim f (x)
x→a

1
.
2

1
, siempre al sustituir obtenemos el cuadrado del límite de una función.
lim g(x)
x→a

8.5. Calcula, haciendo una tabla, los siguientes límites.
4x
4
a) lim ——
x→1
x
1

x2
4x
3
c) lim ——
x→3
x
3

x2
2x
1
b) lim ——
x→ 1
x
1

x
1
3x2d) lim ——
x→
2x2
1

a)

c) No existe, pues lim

4

x→3

b) 0

d)

Solucionario

3
2

43

x2

4x
x

3
3

lim

x→3

x2

4x
x

3
3

Solucionario
8.6*. Calcula, operando en las expresiones originales:
2x3
3x2
a) lim ——
2
x→0
x
x

x2
5x
6
c) lim ——
2
x→5 x
7x
12

x2
x
b) lim ——
2
x→ 1 x
1

1
d) lim ——
x→1
x
1

a) lim

2x3x2

b) lim

x2
x2

x
1

x→ 1

c) lim

x2
x2

5x
7x

6
12

1

4x2
x2

x3
3x

1

4x2
x2

x3
3x

3x
2

1

4x2
x2

x3
3x

3x
2

x→0

x→ 1

x→3

d) lim
x→1

lim

x→1

lim

x→1

3x2
x

x
1
x
1
x

lim
x→0

lim

1

x2(2x
x(x

4x2
3x
x3
——
2
x
2
3x

3)
1)

0

x(x
1)
1)(x
1)

(x

(x
(x

lim...