matematica ejercicios de limites resueltos
Páginas: 4 (889 palabras)
Publicado: 15 de abril de 2013
2.4.
EJERCICIOS RESUELTOS
2.4.1. Sobre límites de funciones:
1. Usando la definición de límite de una función , pruébese que: Lim ( 9 − 3 x ) = − 6
x→5
Solución:
Sea ε
un númeropositivo cualquiera dado. Se debe hallar un δ > 0 tal que:
(1)
0 < x − 5 < δ ⇒ (9 − 3 x ) − (6 ) < ε
Para ello considérese la desigualdad de la derecha de (1).
(9 − 3 x ) − (− 6 ) < ε
⇔ 9 − 3x +6 < ε
⇔ 15 − 3 x < ε
⇔ 3 x − 15 < ε
(V.A.5)
⇔ 3x − 5 < ε
(factorizando)
⇔ x −5 <
ε
3
(2)
Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede
εescoger δ = . (Por supuesto, cualquier valor menor funcionará para δ ).
3
Prueba formal.
ε
> 0 , tal que,
3
ε
0 < x − 5 < δ ⇒ x − 5 <
3
⇒ 3 x − 15 < ε
Dado ε > 0 , existe δ =
⇒ 15 − 3x < ε
⇒ 9 − 3x + 6 < ε
⇒
(9
− 3 x )− (−6) < ε
En particular, si una persona A escoge un ε = 0.01 , en este ejemplo, entonces otra
persona B responderá con un δ = 0.01 / 3 = 0.0033 .
Si Apropone ε = 0.000003 ,
también satisface).
B escogerá
δ = 0.000001 (cualquier valor menor
Al graficar la recta y = f ( x ) = 9 − 3 x (fig. 2.9.), se nota que para “obligar” a (9
– 3x) aestar cerca de – 6, se debe “obligar” a x a que esté cerca de 5.
fig. 2.9.
2. Usando la definición
2x2 − x − 1
Lim
=3
x→1
x −1
del
límite
de
una
función,
demuéstrese
que:Solución:
Análisis preliminar.
Sea ε
un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un δ > 0 tal que:
2x2 − x −1
−3 0 , la última desigualdad puede escribirse
t
asi:
cos t
Lim cos t = 1
t→ 0
concluye que: Lim
t→ 0
b.
y
Lim
t→ 0
1 − cos t
t
Lim
t→ 0
sen t
1
<
t
cos t
(6).
1
= 1 . Luego, por el teorema del sánduche, se
cost
sen t
=1.
t
tiene la forma indeterminada
0
.
0
Para eliminar la indeterminación, multiplíquense numerador y denominador por la
cantidad positiva: 1 + cos t .
Esto es,
1 − cos t...
EJERCICIOS RESUELTOS
2.4.1. Sobre límites de funciones:
1. Usando la definición de límite de una función , pruébese que: Lim ( 9 − 3 x ) = − 6
x→5
Solución:
Sea ε
un númeropositivo cualquiera dado. Se debe hallar un δ > 0 tal que:
(1)
0 < x − 5 < δ ⇒ (9 − 3 x ) − (6 ) < ε
Para ello considérese la desigualdad de la derecha de (1).
(9 − 3 x ) − (− 6 ) < ε
⇔ 9 − 3x +6 < ε
⇔ 15 − 3 x < ε
⇔ 3 x − 15 < ε
(V.A.5)
⇔ 3x − 5 < ε
(factorizando)
⇔ x −5 <
ε
3
(2)
Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede
εescoger δ = . (Por supuesto, cualquier valor menor funcionará para δ ).
3
Prueba formal.
ε
> 0 , tal que,
3
ε
0 < x − 5 < δ ⇒ x − 5 <
3
⇒ 3 x − 15 < ε
Dado ε > 0 , existe δ =
⇒ 15 − 3x < ε
⇒ 9 − 3x + 6 < ε
⇒
(9
− 3 x )− (−6) < ε
En particular, si una persona A escoge un ε = 0.01 , en este ejemplo, entonces otra
persona B responderá con un δ = 0.01 / 3 = 0.0033 .
Si Apropone ε = 0.000003 ,
también satisface).
B escogerá
δ = 0.000001 (cualquier valor menor
Al graficar la recta y = f ( x ) = 9 − 3 x (fig. 2.9.), se nota que para “obligar” a (9
– 3x) aestar cerca de – 6, se debe “obligar” a x a que esté cerca de 5.
fig. 2.9.
2. Usando la definición
2x2 − x − 1
Lim
=3
x→1
x −1
del
límite
de
una
función,
demuéstrese
que:Solución:
Análisis preliminar.
Sea ε
un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un δ > 0 tal que:
2x2 − x −1
−3 0 , la última desigualdad puede escribirse
t
asi:
cos t
Lim cos t = 1
t→ 0
concluye que: Lim
t→ 0
b.
y
Lim
t→ 0
1 − cos t
t
Lim
t→ 0
sen t
1
<
t
cos t
(6).
1
= 1 . Luego, por el teorema del sánduche, se
cost
sen t
=1.
t
tiene la forma indeterminada
0
.
0
Para eliminar la indeterminación, multiplíquense numerador y denominador por la
cantidad positiva: 1 + cos t .
Esto es,
1 − cos t...
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