Limites ejercicios resueltos

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática Matemática I (Mat-021)

Problemas Resueltos de Límites
eleazar.madariaga@alumnos.usm.cl
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Tema: Calculo de diversos limites aplicando solamente algebra Dificultad: : Simple : Intermedio : Desafiante : Nivel Certamen UTFSM__________________________________ Calcule los siguientes límites.

Problema nº 1:

∞

Solución:

∞

∞

∞

Limites/Mat-021 Eleazar Madariaga-UTFSM

Página 1

∞

Problema nº 2:

Solución:

Problema nº 3:

∞

Solución:
∞ ∞

∞

∞

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Página 2

Problema nº 4:
∞

Solución: Acotando se tiene que:

Aplicando la sumatoria a la desigualdadAhora aplicamos el límite y obtenemos:

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

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Página 3

∞

Entonces por el Teorema del Sandwich el límite es

Problema nº 5:
∞

Solución: Para resolver este ejercicio empleare la siguiente propiedad:
∞

∞

∞

∞

∞
∞

∞

Problema nº 6:
∞

Solución:

∞

∞Limites/Mat-021 Eleazar Madariaga-UTFSM

Página 4

Problema nº 7:

Solución: Para resolver este límite empleare la siguiente propiedad:

Lo más conveniente en este caso es realizar el siguiente cambio de variables: , Si entonces

El límite anterior queda:

Problema nº 8:
∞

Solución: Usando la desigualdad de la exponencial:

Que es equivalente a:

Multiplicando por

la desigualdad anteriorLimites/Mat-021 Eleazar Madariaga-UTFSM

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Aplicando el límite, obtenemos:

∞

∞

∞

∞

Entonces por el Teorema del Sandwich el límite es

Problema nº 9:
∞

Solución: Acotando se tiene que:

Aplicamos el límite

Limites/Mat-021 Eleazar Madariaga-UTFSM

Página 6

∞

∞

∞

∞

Entonces por el Teorema del Sandwich el límite es

Problema nº 10:
∞Solución:
∞ ∞

∞

Problema nº 11:
∞

Solución:
∞

Racionalizando cada binomio, obtenemos:

Limites/Mat-021 Eleazar Madariaga-UTFSM

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∞

∞

∞

Problema nº 12:
Para cada estudie el siguiente limite
∞

Solución: Hay tres casos a considerar: Caso 1: En este caso
∞

. Por lo tanto

∞

. De esta manera

∞

Caso 2: Este caso es directo

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∞

∞

Caso 3: Para este caso debemos analizar el siguiente límite:
∞

Puesto que Luego:

, todos los factores del binomio

son positivos.

De esta manera (acotando)

Además se sabe que
∞

∞

. Por el Teorema del Sandwich,

. De esta manera:

∞

∞

Problema nº 13:
∞

Solución:

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Página 9∞

∞

∞

Problema nº 14:
Demuestre que y úselo para calcular:

Solución: En este ejercicio hare uso de las siguientes propiedades:

Como

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Página 10

Problema nº 15:
∞

Solución: Haciendo el cambio de variable: Entonces el límite se ve como: si ∞

Problema nº 16:
¿Hay un número tal que el siguiente límite exista?

Si es así,encuentre el valor de

y del límite.

Solución: Sea una función racional.

Sabemos que cualquier función racional es continua, siempre que esté definida; es decir, es continua en su dominio. Dicho esto, la primera restricción que debemos hacer es: Y

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Página 11

Entonces dice que debemos eliminar tiende a .

lo que inmediatamente nos en eldenominador, por que el limite

Para lograr esto hacemos lo siguiente:

Ahora buscamos que sea divisible por solo basta aplicar división sintetica, es decir: 3 -6 3 Para que se cumpla la condición anterior el resto debe ser cero:

para ello

Ahora que tenemos el valor de límite:

calculado, procedemos a resolver el

Problema nº 17:
¿Para cual valor de la ecuación siguiente es verdadero?...